循环群与生成元：用整数记录幂

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从一个元素走到一个子群 #

设 $G$ 是群，$a\in G$。约定 $a^0=e$，正整数次幂是重复相乘，负整数次幂由 $a^{-n}=(a^{-1})^n$ 定义。对任意整数 $r,s$，都有 $a^ra^s=a^{r+s}$。

将所有整数次幂收集起来：

$$\langle a\rangle=\{a^k:k\in\mathbb Z\}.$$

它非空，并且 $a^r(a^s)^{-1}=a^{r-s}$ 仍在其中，所以由子群判别法，$\langle a\rangle\le G$。

这还是包含 $a$ 的最小子群：任何包含 $a$ 的子群都必须包含 $a^{-1}$、单位元及它们的所有有限乘积，因此包含每一个 $a^k$。

若 $G=\langle a\rangle$，就称 $G$ 为循环群，称 $a$ 为生成元。一个群可能有多个生成元。“由一个元素生成”不等于“只有一个生成元”。

指数何时表示同一个元素 #

若不存在正整数 $m$ 使 $a^m=e$，则称 $a$ 有无限阶。此时 $a^r=a^s$ 必推出 $r=s$：否则 $a^{r-s}=e$，取正的指数差或其相反数便产生正周期，矛盾。

若存在这样的正整数，取其中最小者 $m$，称为 $a$ 的阶，记为 $\operatorname{ord}(a)=m$。

核心关系。 对有限阶元素 $a$ 及任意整数 $r,s$，

$$a^r=a^s\quad\Longleftrightarrow\quad r\equiv s\pmod m.$$

证明：带余除法把任意指数缩回一个周期

若 $m\mid(r-s)$，则 $a^{r-s}=e$，所以 $a^r=a^s$。

反过来，若 $a^r=a^s$，将整数 $r-s$ 写成 $qm+t$，其中 $0\le t<m$。于是 $e=a^{r-s}=(a^m)^qa^t=a^t$。由 $m$ 的最小正性，只能有 $t=0$，所以 $m\mid(r-s)$。

因此有限情形恰有 $m$ 个互不相同的幂：

$$\langle a\rangle=\{e,a,a^2,\ldots,a^{m-1}\}.$$

这个结论同时解释了 $|\langle a\rangle|=\operatorname{ord}(a)$。若 $m=1$，生成子群就是 $\{e\}$，也属于循环群。

加法写法与两个模型 #

在加法群中，“$a$ 的 $k$ 次幂”要改写为“$ka$”，单位元改为 $0$。例如整数加法群由 $1$ 生成，也由 $-1$ 生成；$2$ 只生成偶数子群 $2\mathbb Z$，不能生成整个 $\mathbb Z$。

在模 $8$ 的加法群 $\mathbb Z/8\mathbb Z$ 中，$\overline3$ 的倍数依次是

$$\overline0,\overline3,\overline6,\overline1, \overline4,\overline7,\overline2,\overline5,$$

第八步回到 $\overline0$，所以 $\overline3$ 是生成元。$\overline2$ 只生成 $\{\overline0,\overline2,\overline4,\overline6\}$，因此不是整个群的生成元。

这里使用的是剩余类的加法群，不要与模 $8$ 的单位乘法群混淆。后者只有可逆剩余类，运算也不同。

有限循环群的幂运算与模 $m$ 加法一一对应；无限循环群的幂运算与整数加法一一对应。映射分别是 $\overline k\mapsto a^k$ 和 $k\mapsto a^k$。前面证明的指数判别保证它们是双射，而指数相加的法则保证它们保持群运算。

循环群一定交换，反过来不一定 #

在循环群里，任取 $a^r,a^s$，有 $a^ra^s=a^{r+s}=a^{s+r}=a^sa^r$，所以循环群必交换。

但 $\mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/2\mathbb Z$ 虽然交换，每个非零元素加两次就回到零元，一个元素至多生成两个元素，无法生成整个四元素群。它是交换而非循环的例子。

两道自检 #

1. 整数加法群有哪些生成元 #

证明 $\mathbb Z$ 的生成元只有 $1$ 与 $-1$。

解答

若整数 $d$ 生成 $\mathbb Z$，必须有整数 $k$ 满足 $kd=1$，所以 $d=\pm1$。反过来，每个整数都是 $1$ 或 $-1$ 的整数倍，故二者都是生成元。

2. 八阶循环群中谁能生成全群 #

设 $G=\langle a\rangle$ 且 $|G|=8$。找出 $G$ 的所有生成元。

解答

$a,a^3,a^5,a^7$ 都是生成元：$3^2,5^2,7^2$ 模 $8$ 都等于 $1$，所以这些元素的某个幂能得到 $a$。偶数次幂只能产生偶数次幂，不能产生 $a$，所以其余元素不是生成元。

一般的最大公因数判据将在下一节由幂的阶公式推出，这里不预先依赖它。

继续到元素阶与计数 #

已经知道指数按周期重复，下一步就可以回答：$a^k$ 的周期是多少？有多少个元素恰好具有某个阶？这些问题在群元素的阶中统一处理，也可回到本章目录。

教材定位：丘维声《近世代数》（2015 年第 1 版）§1.1，第 22—24 页；Artin《代数》郭晋云译（2009 年第 1 版）第二章，第 34—35 页。本节按生成子群、指数关系与模型的顺序组织讲解。