概率论的公理化体系

概率论的公理化体系 #

定义

将样本空间 $\Omega$ 的一些子集所构成的类 $\mathscr{F}$ 叫做事件 $\sigma$ 域, 仅当它满足如下三条规定:

(1) $\Omega\in\mathscr{F}$ .
(2) 只要 $E\in\mathscr{F}$ , 就有 $E^c\in\mathscr{F}$ .
(3) 只要 $\{E_n,\ n\in\mathbb{N}\}\subset\mathscr{F}$ , 就有 $\bigcup\limits_{n=1}^\infty\in\mathscr{F}$ .

定理

设 $\Omega$ 为样本空间, 如果 $\mathscr{F}$ 是其中的事件 $\omega$ 域, 则一定有

(1) $\varnothing\in\mathscr{F}$ .
(2) 如果 $\{E_n,\ n\in\mathbb{N}\}\subset\mathscr{F}$ 那么 $\bigcap\limits_{n=1}^\infty E_n\in\mathscr{F}$ .
(3) 如果 $\{E_n,\ n=1,2,\ldots,m\}\subset\mathscr{F}$ 那么 $\bigcap\limits_{n=1}^m E_n\in\mathscr{F}$ 且 $\bigcup\limits_{n=1}^m E_n\in\mathscr{F}$ .
(4) 如果 $E_1,E_2\in\mathscr{F}$ 那么 $E_1-E_2=E_1E_2^c\in\mathscr{F}$ .

定义

将对所给出的一些集合所作的各种(有限次或可列次)取余、取交和取并运算以及他们的混合运算都称为 \text{Borel} 运算.

按照这一定义, $\sigma$ 域就是在一切可能的 $\t{Borel}$ 运算之下封闭的 $\Omega$ 的子集类.

定义

如果 $\mathscr{A}$ 是 $\Omega$ 的一个子集类, 那么由 $\mathscr{A}$ 中的集合作一切可能的 $\t{Borel}$ 运算所得到的 $\sigma$ 域 $\mathscr{F}$ 称为由 $\mathscr{A}$ 生成的 $\sigma$ 域, 记作 $\mathscr{F}=\sigma(\mathscr{A})$ .

定理

定义概率

设有可测空间 $(\Omega,\mathscr{F})$ , 定义在 $\mathscr{F}$ 上的集合函数 $\tP$ 为概率测度, 如果它具有如下三条性质:

(1) 非负性: 即对任何事件 $E$ , 有 $\tP(E)\geqslant 0$ .
(2) 规范性: 即 $\tP(\Omega)=1$ .
(3) 可列可加性: 如果 $\{E_n,n\in\mathbb{N}\}$ 是一列两两不交的事件, 那么就有

\tP\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\tP(E_n).

则称 $\tP$ 为概率.

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