泛函分析-徐小绪：赋范空间 / 商空间

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设 $X$ 是 $B^*$ 空间, $X_0$ 是 $X$ 的闭子空间. 定义 $X$ 上的等价关系: $x \sim y \iff x - y \in X_0$, 记 $x$ 所在的等价类为 $[x]$, 记 $X$ 中全部等价类构成的集合为 $X / X_0 := \lbrace [x] := x + X_0 : x \in X \rbrace$. 规定:

• 加法: $[x] + [y] = [x + y]$ ($\forall [x], [y] \in X / X_0$).
• 数乘: $\lambda [x] = [\lambda x]$ ($\forall \lambda \in \mathbb{K}, [x] \in X / X_0$).

$X / X_0$ 按上述加法与数乘构成线性空间.

在 $X / X_0$ 上定义函数 $\| \cdot \| : X / X_0 \to \mathbb{R}$:

$$\| [x] \| := \inf_{y \in [x]} \| y \| = \inf_{z \in X_0} \| x + z \| = \rho(x, X_0).$$

容易验证以下条件满足:

• (正定性) $\| [x] \| \ge 0$ 且 $\| [x] \| = 0 \iff [x] = [0]$;
• (齐次性) $\| \lambda [x] \| = |\lambda| \| [x] \|$ ($\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall [x] \in X / X_0$);
• (三角不等式) $\| [x] + [y] \| \le \| [x] \| + \| [y] \|$ ($\forall x, y \in X / X_0$).

因此, $X / X_0$ 在范数 $\| \cdot \|$ 下构成 $B^*$ 空间.

tip

若 $\mathscr X$ 是 $B$ 空间, 且 $\mathscr X_0$ 是 $\mathscr{X}$ 的闭子空间, 则 $\mathscr X/\mathscr X_0$ 是 $B$ 空间.

info

上述定理的逆命题不成立, 即存在 $X$ 是不完备的 $B^*$ 空间及闭子空间 $X_0 \subset X$ 使得 $X / X_0$ 完备.

example

令 $X = \lbrace \xi = (x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots) : \xi \text{ 中只有有限个分量不为零} \rbrace$, 定义 $\| \xi \| = \sup \lbrace |x_j| : j \ge 1 \rbrace$, 则 $(X, \| \cdot \|)$ 是 $B^*$ 空间且 $X$ 不完备 (课本习题 1.2.3). 对 $n_0 \in \mathbb{Z}_+$ 令 $X_0 = \lbrace \xi = (x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots) \in X : x_j = 0 \, (1 \le j \le n_0) \rbrace$, 则 $X_0$ 是 $X$ 的闭线性子空间. $X / X_0 \cong \mathbb{K}^{n_0}, \dim X / X_0 = n_0 < \infty$, 故 $X / X_0$ 完备.

info

若对 $X$ 的任意 (非平凡) 闭子空间 $X_0$, $X / X_0$ 都是 $B$ 空间, 则 $X$ 完备.（注：汪林,《泛函分析中的反例》,高等教育出版社,2014.第二章18）

$\bullet$ Riesz 引理中的 $\varepsilon$ 一般取不到零的例子中, $X / X_0 \cong \mathbb{K}, \dim X / X_0 = 1$.

tip