实变函数：第 2 次作业

第二次 #

P54-56: 5,8,10,26

P54/5: 试作开圆盘 $\{(x,y):x^2+y^2<1\}$ 与闭圆盘 $\{(x,y):x^2+y^2\leqslant 1\}$ 之间的一一对应.

答案

考虑 $E=\{(x,0):x\in(0,1)\}\to F=\{(x,0):x\in(0,1)\}\cup\{(x,y):x^2+y^2=1\}$ .

对于 $\{(x,y):x^2+y^2=1\}$ 可作双射 $\theta\to(\cos\theta,\sin\theta),\ \theta\in[0,2\pi)$ 那么考虑 $(0,\frac 1 2)\to(0,1)$ 可作双射 $f_1(x)=2x$ , $[\frac 1 2,1)\to[0,2\pi)$ 可作双射 $f_2(x)=4\pi(x-\frac 1 2)$ . 除此之外, 我们保持恒等映射.

P54/8: 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的实值函数. 如果对于任意的 $x_0\in\mathbb{R}$ , 必存在 $\delta>0$ , 使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时, 有 $f(x)\geqslant f(x_0)$ , 试证明集合 $E=\{y:y=f(x)\}$ 是可数集.

证明

$\forall y_0\in E,\exists x_0\in\mathbb{R},\ s.t.\ f(x_0)=y_0$ , 那么由题设存在 $\delta>0$ 有 $|x-x_0|<\delta$ 时, $f(x)\geqslant f(x_0)$ .

根据有理数的稠密性, 存在 $q_1,q_2$ 满足 $x_0-\delta<q_1<x_0<q_2<x_0+\delta$ , 于是我们可以作映射 $E\to \mathbb{Q}^2:y_0\mapsto (q_1,q_2)$ . 下证该映射是单射.

假设有 $(q_1,q_2)=(p_1,p_2)$ 那么对 $x\in(q_1,q_2)$ 有 $f(x)\geqslant f(x_1)$ , 又 $x_2\in(p_1,p_2)=(q_1,q_2)$ 则 $f(x_2)\geqslant f(x_1)$ 同理可得 $f(x_1)\geqslant f(x_2)$ , 于是 $f(x_1)=f(x_2)$ 即 $y_1=y_2$ .

所以 $\oll{E}\leqslant\oll{\mathbb{Q}^2}=\aleph_0$ . 即 $E$ 可数.

P54/10: 设 $E$ 是平面 $\mathbb{R}^2$ 中的可数集, 试证明存在互不相交的集合 $A$ 与 $B$ , 使得 $E=A\cup B$ , 且任一平行于 $x$ 轴的直线交 $A$ 至多是有限个点, 任一平行于 $y$ 轴的直线交 $B$ 至多是有限个点.

证明

设 $X=\{x:\exists y\in\mathbb{R}\ s.t. (x,y)\in E\},\ Y=\{y:\exists x\in\mathbb{R}\ s.t. (x,y)\in E\}$ . 显然有 $\oll{X}\leqslant\oll{E},\oll{Y}\leqslant\oll{E}$ 即 $X,Y$ 均可数, 那么不妨设 $X=\{x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots\},Y=\{y_1,y_2,\ldots,y_n,\ldots\}$ .

我们取 $A=\{(x_i,y_j):j\geqslant 1,i\leqslant j\}\cap E,B=\{(x_i,y_j):i\geqslant 1,j<i\}$ . 显然有 $A\cap B=\varnothing,E=A\cup B$ .

对于任一平行于 $x$ 轴的直线 $l:y=y_0$ , 如果 $y_0\notin Y$ , 显然 $l\cap A=\varnothing$ , 否则 $\exists j,s.t.\ y_0=y_j\in Y$ , 那么 $l\cap A=\{(x_i,y_j):i\leqslant j\}\cap E$ 至多有 $j$ 个元素.

P56/26: 试问: 由 $\mathbb{R}$ 中的一切开集构成的集族的基数是什么?

答案

一方面, 由 $\{(-\infty,x):x\in\mathbb{R}\}\subset E$ 于是有 $\oll{E}\geqslant\oll{\mathbb{R}}=c$ .

另一方面, 考虑集合 $B=\{(p,q):p,q\in\mathbb{Q},p<q\}$ , 有 $\oll{B}=\aleph_0$ . 又 $\mathbb{R}$ 中的开集可以看作可数个互不相交的开区间的并集, 并且有任一开区间 $(a,b)$ 由有理数的稠密性, 都存在可数个有理开区间使其并集为 $(a,b)$ . 存在一个单射 $E\to \mathscr P(B)$ , 即 $\oll{E}\leqslant 2^{\aleph_0}=c$ .

综上 $\oll{E}=c$ .

第二次 #

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