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实变函数：Lebesgue测度 / 正测度集与矩体

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正测度集与矩体 #

tip

设 EE 是 Rn\mathbb{R}^n 中的可测集, 且 m(E)>0,0<λ<1m(E)>0,0<\lambda<1, 则存在矩体 II, 使得

λ∣I∣<m(I∩E).\lambda|I|<m(I\cap E).
note

不妨设 m(E)<+∞m(E)<+\infty, 对 0<ε<(1λ−1)m(E)0<\varepsilon<(\dfrac 1 \lambda -1)m(E), 存在 L-覆盖 {Ik}\{I_k\}, 有 ∑k=1∞∣Ik∣<m(E)+ε=1λm(E).\sum\limits_{k=1}^\infty |I_k|<m(E)+\varepsilon=\dfrac 1 \lambda m(E). 从而一定存在 k0k_0, 使得 λ∣Ik0∣<m(Ik0∩E).\lambda|I_{k_0}|<m(I_{k_0}\cap E).

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