实变函数：第 5 次作业

设 $G_t=\{(x,y)|f(x,y)>t\},\ t\in\mathbb{R}$, 由 $f$ 连续, $(t,+\infty)$ 是开集可推出 $G_t=f^{-1}((t,+\infty))$ 是开集.

$\Rightarrow$ 可以用可数个不交的半开矩体表示 $G_t=\bigcup\limits_{n\geqslant 1}J_n,\ J_n=(a_n,b_n]\times(c_n,d_n]$.

$\Rightarrow\{x\in[a,b]|F(x)>t\}=\bigcup\limits_{n\geqslant 1}(\{x\in[a,b]|g_1(x)\in(a_n,b_n]\}\cap\{x\in[a,b]|g_2\in(c_n,d_n]\})$, 由 $g_1,g_2$ 是可测函数可知 $\{x\in[a,b]|F(x)>t\}$ 可测.

第一章例题可知若 $f(x)$ 右连续, 则其不连续点是零测集. 于是根据本题题设可知 $f(x)$ 的不连续点是零测集. 故 $f$ 是可测函数.

设 $g_n(x)=\dfrac {f(x+\frac 1 n)-f(x)}{\frac 1 n}$ 是可测函数, $f_+'(x)=\lim\limits_{n\to\infty}g_n(x)$ 逐点收敛, 于是 $f_+'(x)$ 也是可测函数

利用局部有界化, 存在 $B\subset E$ 且 $m(E\setminus B)<\varepsilon$, 使得 $\dfrac 1 {k_0}\leqslant f(x)\leqslant k_0,\ \forall x\in B$. 则取 $g(x)=f(x)\Chi_{B}(x)$.

设 $m(G_k)<\frac 1 k$, $G=\bigcap\limits_{k=1}^\infty G_k$. 则有 $m(G)\leqslant \frac 1 k,\forall k\geqslant 1$, 于是 $m(G)=0$.

$\mathbb{R}^n\setminus G=\bigcup\limits_{k=1}^\infty \mathbb{R}^n\cap G_k^c$. 又 $f\in C(\mathbb{R}^n\setminus G_k)$, 即 $f$ 在 $\mathbb{R}^n\setminus G_k$ 上可测, 按照定义, $f$ 在 $\mathbb{R}^n\setminus G$ 上有 $\{x\in \mathbb{R}^n\setminus G:f(x)>t\}=\bigcup\{x\in\mathbb{R}^n\setminus G_k:f(x)>t\}$ 可测, 于是 $f$ 在 $\mathbb{R}^n\setminus G$ 上可测. 又 $G$ 是零测集, 所以 $f$ 在 $G$ 上可测. 故 $f$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上可测.

设 $F_k\subset E$ 满足 $m(E\setminus F_k)<\frac 1 k$, 记 $E_k=E\setminus F_k, G=\bigcap E_k$. 则有 $m(G)=0$. 考虑 $E\setminus G$, 有 $f(x)$ 在 $E\setminus E_k$ 上连续于是可测, 则 $f(x)$ 在 $E\setminus G$ 上可测 (同上题). 于是 $f(x)$ 在 $E$ 上可测.