变分原理 | nan2inf.cn

定义

设 $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ 是区域, 定义在 $\Omega$ 上的无穷次可微且在边界上为零的函数记作 $C_0^\infty(\Omega)$ .

例

对定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的函数.

\rho(x)=\begin{cases} ke^{-1/(1-|x|)},\quad& |x|<1 \\ 0,\quad & |x|\geqslant 1 \end{cases}

特别的, 在二维平面中, 我们可以固定 $k$ , 使得

\iint_{\mathbb{R}^2}\rho(x,y)\text{d} x\text{d} y=1

定义 $\rho_n(x,y)=n^2\rho(nx,ny)$ . 从而有

\begin{aligned} &\rho_n(x,y) \in C_0^\infty (\mathbb{R}^2)\\ &\iint_{\mathbb{R}^2} \rho_n(x,y)\text{d} x\text{d} y=1 \end{aligned}

且 $\sqrt{x^2+y^2}\geqslant \frac 1 n$ 时 $\rho_n=0$ .

引理

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中有界区域, $f(x,y)$ 在 $\Omega$ 上连续, 如果 $\forall\varphi(x,y)\in C_0^\infty(\Omega)$ ,

\iint_\Omega f(x,y)\varphi(x,y)\text{d} x\text{d} y=0,

则 $f(x,y)$ 在 $\Omega$ 上恒为零.

定义

给定函数集合

M_\varphi=\{v|v\in C^1(\overline{\Omega}),v|_{\partial \Omega}=\varphi\},

求 $u\in M_\varphi$ , 使得 $J(u)=\min\limits_{v\in M_\varphi}J(v)$ .

$J(v)$ 是定义在集合 $M_\varphi$ 上的泛函, $J:M_\varphi\to\mathbb{R}$ . 这样一个求泛函的极值问题称为变分问题.

$M_\varphi$ 称为变分问题的允许函数类, 或称为定义域.

命题

必要条件: 定义 $M_0=\{v|v\in C^1(\overline{\Omega}),v|_{\partial \Omega}=0\}$ 则 $\forall v\in M_0,\forall \varepsilon\in (-\infty,+\infty)$ , 有 $u+\varepsilon v\in M_\varphi$ .

定义 $j(\varepsilon)=J(u+\varepsilon v)$ 是 $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 的可微函数. 必有

j(\varepsilon)\geqslant j(0),\forall v\in\mathbb{R} \Rightarrow j'(0)=0

故一个必要条件是 $j'(0)=0$ .

如果满足 $j''(0)>0$ 则该条件是充分的.

定理散度定理

(n 维)

\int_\Omega \nabla\cdot F\text{d} V=\int_{\partial\Omega}F\cdot n\text{d} S.

取 $F=(P,Q)$ 即得二维情形.

(二维) 设 $P,Q$ 足够光滑, 则

\iint_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)\text{d} x\text{d} y=\int_{\partial \Omega}(P,Q)\cdot n \text{d} S=\int_{\partial \Omega}P n_1+Q n_2\text{d} S

定理 Green 第一公式

(n 维) 设 $u,v$ 足够光滑, $\Omega\in\mathbb{R}^n$ , 则

\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\text{d} \vec x=-\int_\Omega (\Delta u)v\text{d} \vec x+\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \vec n}v\text{d} S.

$\frac{\partial u}{\partial \vec n}=\nabla u\cdot \vec n$ .

特别的, 设 $v=1$ 可得

\int_\Omega (\Delta u)\text{d} \vec x=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \vec n}\text{d} S=\int_{\partial \Omega}\nabla u\cdot\vec n \text{d} S

极小曲面问题 #

定义

取变分问题中

J(v)=\iint_\Omega\sqrt{1+v_x^2+v_y^2}\text{d} x\text{d} y

就称该问题为极小曲面问题.

按过程求解后可得方程

\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right]+\frac{\partial}{\partial y}\left[\frac{u_y}{\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}}\right]=0

等价于

(1+u_y^2)u_{xx}-2u_xu_y\cdot u_{xy}+(1+u_x^2)u_{yy}=0

再验 $j''(0)$ 恒大于 0.

j''(\varepsilon) = \iint_{\Omega} \frac{ v_x^{2}+v_y^{2} +\bigl[v_y\,(u_x+\varepsilon v_x)-v_x\,(u_y+\varepsilon v_y)\bigr]^2 }{ \left[1+(u_x+\varepsilon v_x)^2+(u_y+\varepsilon v_y)^2\right]^{3/2} } \,dx\,dy.

注

当 $|u_x|,|u_y|\ll 1$ 时, 可近似看作方程 $u_{xx}+u_{yy}=0$ , 即极小曲面 $u=u(x,y)$ 可近似看作 Laplace 方程的第一边值问题.

膜平衡问题 #

膜平衡问题:

J(v)=\frac T2\iint_\Omega (v_x^2+v_y^2)\text{d} x\text{d} y-\iint_\Omega f(x,y)v(x,y)\text{d} x\text{d} y-\int_\Gamma p(s)v(s)\text{d} s.

推导出的 Euler 方程 $j'(0)=0$ 有 $\forall v\in M_0$ ,

T\iint_\Omega\left(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}\text{d} x\text{d} y\right)-\iint_\Omega fv \text{d} x\text{d} y-\int_\Gamma pv\text{d} s=0

应用 Green 公式得到

-\iint_\Omega (T\Delta u+f)v\text{d} x\text{d} y+\int_\Gamma\left(T\frac{\partial u}{\partial n}-p\right)v\text{d} s=0.

先取 $v\in C_0^\infty(\Omega)$ 得到

-\iint_\Omega(T\Delta u+f)v\text{d} x\text{d} y=0

从而由 $v$ 任意性得到 $-T\Delta u=f$ .

再带回原式有

\int_\Gamma\left(T\frac{\partial u}{\partial n}-p\right)v\text{d} s=0

同理可得 $T\dfrac{\partial u}{\partial n}=p.\quad (\Gamma)$ .

变分问题、弱形式与第三边值问题 #

设

J(v)=\frac 1 2\int_\Omega (|\nabla v|^2+v^2)\text{d} x+\frac 12 \int_{\partial \Omega} \alpha(x)v^2\text{d} s-\int_\Omega fv\text{d} x-\int_{\partial\Omega}gv\text{d} s

其中 $\alpha(x)\geqslant 0$ 。考虑以下三个问题。

问题 I：变分问题 #

求 $u\in M=C^1(\overline{\Omega})$ ，使得

J(u)=\min\limits_{v\in M}J(v).

问题 II：弱形式 #

求 $u\in M=C^1(\overline{\Omega})$ ，使得它对于任意 $v\in M$ 都满足

\int_\Omega (\nabla u\cdot\nabla v+u\cdot v-fv)\text{d} x+\int_{\partial\Omega}(\alpha(x)uv-gv)\text{d} s=0.

问题 III：第三边值问题 #

求 $u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})$ ，满足以下边值问题

\begin{cases} -\Delta u+u=f, & x\in\Omega,\\ \dfrac{\partial u}{\partial n}+\alpha(x)u=g, & x\in\partial \Omega. \end{cases}

需要证明：

问题 I 与问题 II 等价。
当 $u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})$ 时，问题 I、II、III 等价。

证明

I ⇒ II。 令 $j(\varepsilon)=J(u+\varepsilon v)$ ，其中 $u\in M,\ v\in M$ 。于是

j'(0)=\int_\Omega \nabla v\cdot \nabla u+vu\text{d}\vec x+\int_{\partial \Omega} \alpha u v\text{d} \vec x-\int_\Omega fv\text{d} \vec x-\int_{\partial\Omega} gv\text{d} \vec x=0

即

\int_\Omega (\nabla u\cdot\nabla v+u\cdot v-fv)\text{d} x+\int_{\partial\Omega}(\alpha(x)uv-gv)\text{d} s=0.

再验证 $j''(\varepsilon)=\int_\Omega(|\nabla v|^2+v^2)\text{d}\vec x+\int_{\partial\Omega}\alpha v^2\text{d} \vec x> 0$ .

II ⇒ I。 令 $w=v-u\in M$ ，考虑

J(u+w)-J(u)=\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla w+uw+\frac{1}{2}(|\nabla w|^2+w^2)\text{d}\vec x+\int_{\partial\Omega}\alpha (uw+\frac12 w^2)\text{d}\vec x-\int_{\Omega} fw\text{d}\vec x-\int_{\partial\Omega} gw\text{d}\vec x.

由条件带入 $v=w$ .

得到

J(u+w)-J(u)=\frac12\int_\Omega(|\nabla w|^2+w^2)\text{d}\vec x+\frac12\int_{\partial \Omega}\alpha w^2\text{d}\vec x\geqslant 0

从而问题 II 的解 $u$ 是 $J(u)$ 的最小值点.

综上问题 I, II 等价. II ⇒ III。 取 $v\in C_0^2$ ，由 Green 公式

\int_\Omega (\nabla u\cdot\nabla v+uv-fv)\text{d}\vec x=\int_\Omega (-\Delta u+u-f)v\text{d} x=0

那么由 $v$ 任意可得 $-\Delta u+u=f$ . 再带回 II 得到

\int_{\partial \Omega}(\frac{\partial u}{\partial n}+\alpha u-g)v\text{d} s=0

从而 $\dfrac{\partial u}{\partial n}+\alpha u=g$ .

III ⇒ II。 由 Green 公式可得问题 II 的条件成立。