泛函分析-徐小绪：度量空间 / 完备化

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definition

$T:\mathscr X_1\to\mathscr X_2$ .

$\rho_1(x,y)=\rho_2(Tx,Ty)\ \forall x,y\in\mathscr X_1$ .

如果 $T$ 还是满射, 则称两个度量空间 $(\mathscr X_1,\rho_1)$ , $(\mathscr X_2,\rho_2)$ 等距同构.

definition

设 $(\mathscr X,\rho)$ 为度量空间. 若存在完备的度量空间 $\mathscr X_1$ 使得 $\mathscr X$ 等距同构于 $\mathscr X_1$ 的一个稠密子空间, 则称 $\mathscr X_1$ 是 $\mathscr X$ 的完备化空间.

tip

每个度量空间 $(\mathscr X,\rho)$ 必存在一个完备化空间.

note

此过程类似数学分析入门中的用柯西列定义实数.

info

在等距同构意义下, 度量空间的完备化空间是唯一的.

example

$P[a,b]$ 表示 $[a,b]$ 上的多项式全体, $\rho(f,g)=\max\limits_{t\in[a,b]}|f(t)-g(t)|$ . 有 $(P[a,b],\rho)$ 的完备化空间是 $C[a,b]$

note

example

$C_0^1[0,1]=\lbrace f\in C^1[0,1]:f(0)=f(1)=0\rbrace$ ,

$\rho(f,g)=\left\lbrace\displaystyle\int_{0}^{1[|f(t)-g(t)|^2+|f'(t)-g'(t)|^2]\text{d}} t\right\rbrace^{1/2}$

证明 $(C_0^1[0,1],\rho)$ 是度量空间, 但不完备.
如何刻画 $C_0^1[0,1]$ 在 $\rho$ 下的完备化空间.
记 $\mathscr X$ 是 $C_0^1[0,1]$ 在 $\rho$ 下的完备化空间. 证明 $\mathscr X\subset C[0,1]$ .

note

Hint: $\forall f\in\mathscr X,\ \exists f_n\in C_0^1[0,1]$ 使 $\rho(f_n,f)\to 0$ . 并证 $\lbrace f_n\rbrace$ 在度量 $\widetilde{\rho}(x,y)=\max\limits_{t\in(0,1)}|x(t)-y(t)|$ 下是 Cauthy 列.

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