元素阶：把最小周期变成整除

遇到“重复多少次第一次回到原状”，先确认操作是否可逆、状态是否组成群。元素的阶描述的是最小正周期，不能把任意一个可用周期当成答案。

速查 #

以下设 $g$ 的有限阶为 $m$ ，单位元记为 $e$ 。

要求	结论	条件
判断 $g^k=e$	$m\mid k$	$k$ 为整数
求 $g^k$ 的阶	$m/\gcd(m,k)$	$\gcd(m,0)=m$
在 $C_m$ 中数阶恰为 $d$ 的元素	$\varphi(d)$	$d\mid m$ ；否则为零
在 $C_m$ 中数 $x^k=e$ 的解	$\gcd(m,k)$	$k$ 为正整数
求直积元素 $(a,b)$ 的阶	$\operatorname{lcm}(\operatorname{ord}(a),\operatorname{ord}(b))$	两个元素均有限阶

在有限群中，Lagrange 定理只给出元素阶整除群大小，不能反过来断言每个因子都对应某个元素的阶。循环群中才有上表的精确计数。

先把最小周期写成整除判据。若 $g^k=e$ ，作带余除法 $k=qm+r$ ， $0\le r<m$ ，则 $g^r=e$ 。由 $m$ 的最小性， $r=0$ ，所以 $m\mid k$ 。

设 $d=\gcd(m,k)$ 。对正整数 $t$ ，

(g^k)^t=e \iff m\mid kt \iff \frac{m}{d}\mid \frac{k}{d}t \iff \frac{m}{d}\mid t.

最后一步用到两个商互素，因此最小的 $t$ 正是 $m/d$ 。例如 $m=18,k=12$ 时， $g^{12}$ 的阶是 $3$ ，而不是 $6$ 或 $18$ 。

在 $C_{12}=\langle g\rangle$ 中，求阶恰为 $4$ 的元素。

每个元素唯一写作 $g^j$ ， $0\le j<12$ 。由幂的阶公式，

\operatorname{ord}(g^j)=4 \iff \gcd(12,j)=3.

只有 $j=3,9$ ，对应 $g^3,g^9$ ，数量为 $\varphi(4)=2$ 。一般地，若 $d\mid m$ ，令 $j=(m/d)u$ ，阶恰为 $d$ 等价于 $u$ 在模 $d$ 下与 $d$ 互素，所以数量是 $\varphi(d)$ 。

若改问 $x^6=e$ ，条件成为 $12\mid6j$ ，即 $j$ 为偶数，得到 $6$ 个解。阶恰为 6 与 阶整除 6 是不同问题。

设 $G$ 为有限群，所有元素的阶均为同一素数 $q$ 的非负整数次幂。对整数 $k\ge0$ ，记 $F(k)$ 为阶整除 $q^k$ 的元素数。则 $F(0)=1$ ；对 $k\ge1$ ，阶恰为 $q^k$ 的元素数为 $F(k)-F(k-1)$ 。

这个相邻差分不能直接套到任意整数阶上：例如阶整除 $6$ 的集合与阶整除 $5$ 的集合并不形成包含关系。一般情形应按约数关系计数，而不是按整数大小作相邻相减。

对有限直积 $C_{q^{b_1}}\times\cdots\times C_{q^{b_r}}$ ，其中 $b_i$ 为非负整数，各坐标独立，因此对整数 $k\ge0$ 有

F(k)=q^{\sum_i\min(k,b_i)}.

E · Exponent将这个计数进一步转成元素阶的加权和，给出完整推导和 C++17 实现。

在直积中， $(a,b)^t=(e,e)$ 当且仅当两个分量都回到单位元，因此 $t$ 必须同时被它们的阶整除。最小值是最小公倍数。例如阶为 $6$ 和 $10$ 的两个分量，合起来的阶为 $30$ ，不是 $60$ 。

只有分量的阶互素时才可相乘。这个条件正是单位群拆分中需要再次按素数分组的原因。