习题

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确定 Petersen 图的独立数 (independent number, 最大独立集的大小)、团数 (clique number, 最大团的大小) 和染色数。

确定下列命题的真假 a) 任意非连通图都有一个孤立顶点 b) 一个图是连通的当且仅当它的某个顶点与其他所有顶点是连通的 c) 任意闭合迹的边集可以划分成若干个环的边集 d) 如果图中有一个极大迹不是闭合的, 则其端点的度是奇数。

证明或证伪: 如果 是仅有的两个度数为奇数的点, 那么存在一条 -path。

证明: 存在一个 -顶点的竞赛图使得其中每个顶点的入度等于出度当且仅当 是奇数。

10. 若 在 上绝对连续, 那么 在 上几乎处处可微。

收录实变函数往年期末试题与解答，涵盖测度、收敛、积分和有界变差函数。

泛函分析期末试题与解答，涵盖伴随算子、对偶空间、紧算子与相关证明。

泛函分析期中试题与解答，涵盖 Banach 空间、范数、线性泛函与算子等基础主题。

泛函分析期末试题与解答，整理全部题目、证明与计算过程。

泛函分析期中试题与解答，涵盖算子收敛、一致有界原理、对偶空间与相关证明。

求 使得 4pt] u=, x {cases} 3pt] u(x,0)=(x),\ ut(x,0)=(x), -<x<+ {cases}。

收录 2020 至 2023 级抽象代数期末回忆题及参考解答，涉及群、环、域与多项式等内容。

令 是 在 度量下的完备化空间 证明 (1) 是 中的列紧集 (2) 是 中的列紧集 (Rellich 紧嵌入定理)。

泛函分析作业，练习 Newton 迭代、压缩映射、不动点定理及积分方程的可解性。

泛函分析作业，讨论度量空间的完备性、基本列、多项式空间及紧集间距离。

泛函分析作业，围绕 Arzelà-Ascoli 定理、列紧性、等度连续和紧度量空间展开。

泛函分析作业，比较多种范数，讨论函数空间的完备性、范数等价与最佳逼近。

泛函分析作业，讨论严格凸范数、线性子空间、零收敛数列空间与商空间范数。

泛函分析作业，涵盖共轭双线性型、Hilbert 空间正交分解、标准正交集与最佳平方逼近。

泛函分析作业，围绕有界线性泛函、零空间、超平面及其几何性质展开。

泛函分析作业，讨论正交投影、闭子空间、闭算子、开映射与闭图定理。

泛函分析作业，练习一致有界原理、Hahn-Banach 定理、对偶基与凸集分离。

泛函分析作业，涵盖自伴算子、闭图与一致有界原理、弱收敛及自反空间中的极值问题。

泛函分析作业，涵盖闭算子的特征元、紧算子及相关谱性质证明。

泛函分析作业，讨论乘法算子、积分算子的紧性以及算子方程的基本性质。

泛函分析作业，整理商空间上的诱导算子、开映射定理及相关算子性质。

泛函分析作业，涵盖 Riesz-Fredholm 理论、不变子空间、伴随算子与正算子。

1. 求下列复数 的模 与辐角的主值 (1) (2)。

复变函数中关于「2」的习题与证明。

10. 若 为随机事件, 说明下列各关系式的概率意义。

试证明圆锥形杆的微小纵振动方程是 其中 是圆锥的高, 分别是它的密度与杨氏模量, 且 为常数。

试求解初值问题： 2pt] u{t=a x}=u0(x), & -<x<,\。

2pt] u{t=0}=(x), & -<x< {cases}。

围绕半无界热传导、分离变量、边界条件和解的导数估计整理第 4 次作业。

整理热方程的最大值原理、唯一性与能量估计，以及典型区域 Green 函数练习。

求圆 上满足以下边条件的调和函数 (其中 A, B 常数) (1) (2) (3)。

4pt] { u}{ n}+(x)u{1}=1 u{2}=2 {cases}。

4pt] u(0)=u(1)=0 {cases}。

围绕 Harnack 定理、调和函数与极值原理整理的偏微分方程习题与证明。

P11/1: 试证明: 设 以及 都是定义在 上的实值函数, 且有 则对 , 有。

P218/8: 试证明 当且仅当存在 上的递增函数 , 使得。

P232:3-4; P242-243:9-11, 17-20。

P54/5: 试作开圆盘 与闭圆盘 之间的一一对应。

P71/3: 设 . 若对任意的 , 存在开球 , 使得 , 试证明。

P94/8,9,11,12,13;P107/1,2,3。

整理可测函数的复合、导函数可测性与有界逼近等第 5 次作业。

整理可测函数列、几乎处处收敛及相关测度判别的第 6 次作业。

P189/2: 设 在 上非负可积, , 且 存在, 试证明存在积分。

整理非负可积函数、幂函数可积性与积分估计等第 8 次作业。

P159/2: 试证明函数列 在 不是依测度收敛于 的。

1、已知准确值 , 则近似值: 有\\\\位有效数字, 有\\\\位有效数字。

令 是一个图 a 证明: 是一棵树当且仅当 是连通的且每条边都是割边 b 证明: 是一棵树当且仅当添加任一条以 中的顶点为端点的边恰好生成一个环。

首先连续的三条边至少有一条在极大匹配中, 不然一定可以将中间那条边加入到匹配中构成更大的一个匹配。

整理边连通度、Menger 定理、二分图匹配与点覆盖、最大流最小割等第 4 次作业。

在圆周上放置 个点, 其中 . 令 为将每个点与两个方向上与它最近的 个点相连得到的 -正则图. 例如, , 如下图所示. 证明: 当 能被 整除时, ；当 不能被 整除时, . 证明 时有 , 由此证明上面结论中 的下界不能被削弱。

未知. 写出一个完备统计量{{2cm}}, 一个枢轴量{{2cm}}。

设 其中 考虑以下三个问题 I 变分问题: 求 , 使得 II 求 , 使得它对于任意 , 都满足 III 第三边值问题: 求 , 满足以下边值问题 (1) 证明问题 I 与问题 II 等价 (2) 当 时, 证明问题 I,II,III 等价。

汇总自反空间、凸集分离、紧算子、自伴算子、谱与 Fredholm 类等期末练习。

使用单纯形法来求解如下优化问题： 要求： 将其转化为标准形式，列出单纯形表手算作答。

建立旅行商问题的整数规划模型，并用 0-1 变量和 Big-M 约束求解带前序关系的双工作站调度。

某企业的生产函数 , 它表示在资本投入和劳动投入分别为 和 时, 某种产品的产出量为 . 若产品价格为 , 要素投入价格分别为 , 试求该企业得到最大利润时要素投入水平。

其中 元为每批装配费， 为本批 件样品的制造费。 设在三个月内未能交出合格样品则需支付违约金 元。

则利润为 $(q,x)={cases} 600x-100q, & q x\\ 300x+200q, & q x {cases}$。

泛函分析期末试题与解答，涵盖伴随算子、对偶空间、紧算子与相关证明。

泛函分析期中试题与解答，涵盖 Banach 空间、范数、线性泛函与算子等基础主题。

泛函分析期末试题与解答，整理全部题目、证明与计算过程。

泛函分析期中试题与解答，涵盖算子收敛、一致有界原理、对偶空间与相关证明。

泛函分析作业，练习 Newton 迭代、压缩映射、不动点定理及积分方程的可解性。

泛函分析作业，讨论度量空间的完备性、基本列、多项式空间及紧集间距离。

泛函分析作业，围绕 Arzelà-Ascoli 定理、列紧性、等度连续和紧度量空间展开。

泛函分析作业，比较多种范数，讨论函数空间的完备性、范数等价与最佳逼近。

泛函分析作业，讨论严格凸范数、线性子空间、零收敛数列空间与商空间范数。

泛函分析作业，涵盖共轭双线性型、Hilbert 空间正交分解、标准正交集与最佳平方逼近。

泛函分析作业，围绕有界线性泛函、零空间、超平面及其几何性质展开。

泛函分析作业，讨论正交投影、闭子空间、闭算子、开映射与闭图定理。

泛函分析作业，练习一致有界原理、Hahn-Banach 定理、对偶基与凸集分离。

泛函分析作业，涵盖自伴算子、闭图与一致有界原理、弱收敛及自反空间中的极值问题。

泛函分析作业，涵盖闭算子的特征元、紧算子及相关谱性质证明。

泛函分析作业，讨论乘法算子、积分算子的紧性以及算子方程的基本性质。

泛函分析作业，整理商空间上的诱导算子、开映射定理及相关算子性质。

泛函分析作业，涵盖 Riesz-Fredholm 理论、不变子空间、伴随算子与正算子。

汇总自反空间、凸集分离、紧算子、自伴算子、谱与 Fredholm 类等期末练习。