实变函数

10. 若 在 上绝对连续, 那么 在 上几乎处处可微。

收录实变函数往年期末试题与解答，涵盖测度、收敛、积分和有界变差函数。

根据下极限的定义, 存在一个子列 使得 又 依测度收敛, 可得该子列也依测度收敛, 对其使用 Riesz 定理, 我们可以的到一个子列 满足积分极限与下极限相等并且几乎处处收敛到 . 再使用 Fatou 引理。

补充可测性的等价刻画、简单函数运算、依测度收敛与 Riesz 逆定理。

利用 Holder 不等式 再对上式开 次根号即可得到。

整理单调函数几乎处处可微与单调函数列逐项微分的两个基本定理。

(i) 中非空开集是可数个互不相交的开区间 (端点包括 ) 的并集 (ii) 中非空开集是可列个互不相交的半开闭方体的并集。

设有定义在 上的非负可测函数渐升列 且有 , 则。

整理集合的基本运算、De Morgan 法则、集合列极限及上下极限。

由 , 取 , 存在 , 使得满足 的任意有限个不相交的区间有 考虑取正整数 满足 , 那么可以将 分为 个区间 , 则 . 而在每个小区间上, 由于区间长度小于 , 从而对任意分划, 有总长度满足绝对连续于是 , 从而有 . 即。

整理可测函数的定义、基本闭包性质以及二元函数可测性的典型证明。

整理可测函数列的几乎处处收敛、依测度收敛与相关判别结果。

整理 Lusin 定理及其证明，说明可测函数如何在删去小测度集合后表现为连续函数。

整理 Lebesgue 可测集的定义、可测集类性质及测度的连续性。

由 是开集, 所以 , 存在 , 使得 , 于是 . 从而。

若 , 则对任给 , 存在 上具有紧支集的连续函数 , 使得。

实变函数的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

P11/1: 试证明: 设 以及 都是定义在 上的实值函数, 且有 则对 , 有。

P218/8: 试证明 当且仅当存在 上的递增函数 , 使得。

P232:3-4; P242-243:9-11, 17-20。

P54/5: 试作开圆盘 与闭圆盘 之间的一一对应。

P71/3: 设 . 若对任意的 , 存在开球 , 使得 , 试证明。

P94/8,9,11,12,13;P107/1,2,3。

整理可测函数的复合、导函数可测性与有界逼近等第 5 次作业。

整理可测函数列、几乎处处收敛及相关测度判别的第 6 次作业。

P189/2: 设 在 上非负可积, , 且 存在, 试证明存在积分。

整理非负可积函数、幂函数可积性与积分估计等第 8 次作业。

P159/2: 试证明函数列 在 不是依测度收敛于 的。

介绍 Lebesgue 外侧度、L-覆盖及其基本性质，并结合例题说明外侧度的计算与估计。

若 , 则对任给的 , 存在 , 使得当 中子集 的测度 时, 有。

整理像集与原像集、特征函数、Cantor–Bernstein 定理及基数的基本性质。

由 连续, 可得 以 为例, 根据全变差的定义, 存在 的一个分划 慢则 并且有 据此我们可以推出。

证明正测度可测集在某个矩体中具有正的相对密度。