群：循环群、置换与子群

知识点与笔记

1. 1

   群与子群

   群公理与子群判别；对应第一章 1.1、1.4 的基础概念。

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2. 2

   1.1 循环群与生成元

   由一个元素的整数次幂生成子群，并区分有限与无限情形。

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3. 3

   1.2 图形的对称群

   用几何变换的复合提供具体群例。

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4. 4

   1.3 n 元对称群

   从置换、轮换和奇偶性研究对称群。

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5. 5

   1.4 子群与 Lagrange 定理

   用陪集和指数联系子群阶与群阶。

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6. 6

   元素的阶与计数

   结合 1.1、1.4、1.5 讨论幂的阶、循环群计数与直积。

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7. 7

   代表题：周期、根数与直积

   已有的四道自检，作为元素阶笔记的练习。

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8. 8

   1.5 群的直积（直和）

   比较外直积与内部直积的构造。

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教材定位：丘维声《近世代数》第一章 1.1-1.5。