偏微分方程

求 使得 4pt] u=, x {cases} 3pt] u(x,0)=(x),\ ut(x,0)=(x), -<x<+ {cases}。

介绍变分问题的允许函数类、必要条件，并讨论极小曲面与膜平衡问题。

对于弦的情形就是一维的 (维数关注空间变量, 不考虑时间)。

一维热传导方程初值问题 若 , 那么积分 有意义, 称其为 的 Fourier 变换, 记作。

梯度算子, 对每一分量求偏导的向量 eg 散度, 理解为 , 即先算梯度再做点积, eg {curl} 旋度, 理解为 , 即先算梯度, 再做叉积 拉普拉斯算子, 针对空间变量, 对每一维的二阶偏导求和。

对于弦的情形就是一维的 (维数关注空间变量, 不考虑时间)。

由于高维的 [Duhamel]{Duhamel 原理}也成立, 故我们只考虑 的情形. 采用球面平均法。

介绍一维波动方程混合问题及其广义解的积分恒等式定义。

与波动方程的区别在于此时 对应的 ODE 是一阶的, 故解是指数函数而不是三角函数。

整理 Laplace 方程的基本解、Green 公式与解的积分表示。

整理极小曲面问题所需的光滑试验函数、逼近核与基本引理。

设满足 , 则 不能在 内达到它在 上的非负最大值。

设 且满足 , 则 在 上的最大值必在 的抛物边界 上达到, 即。

偏微分方程的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

试证明圆锥形杆的微小纵振动方程是 其中 是圆锥的高, 分别是它的密度与杨氏模量, 且 为常数。

试求解初值问题： 2pt] u{t=a x}=u0(x), & -<x<,\。

2pt] u{t=0}=(x), & -<x< {cases}。

围绕半无界热传导、分离变量、边界条件和解的导数估计整理第 4 次作业。

整理热方程的最大值原理、唯一性与能量估计，以及典型区域 Green 函数练习。

求圆 上满足以下边条件的调和函数 (其中 A, B 常数) (1) (2) (3)。

4pt] { u}{ n}+(x)u{1}=1 u{2}=2 {cases}。

4pt] u(0)=u(1)=0 {cases}。

围绕 Harnack 定理、调和函数与极值原理整理的偏微分方程习题与证明。

偏微分方程中关于「热传导」的课程笔记。

偏微分方程中关于「位势」的课程笔记。

半线性: 最高阶导数项的系数与未知函数及其导数无关。

设 其中 考虑以下三个问题 I 变分问题: 求 , 使得 II 求 , 使得它对于任意 , 都满足 III 第三边值问题: 求 , 满足以下边值问题 (1) 证明问题 I 与问题 II 等价 (2) 当 时, 证明问题 I,II,III 等价。

逐点求解 考虑曲线 $l:{cases} {{d} x}{{d} t}=a(x)\\ x(0)=c0 {cases}(x0,t0)c0=g(x0,t0)$。

${cases} u= u{tt}-a^2u{xx}=f(x,t)& {R}(0,)\\ u(x,0)=(x), & x{R}\\ ut(x,0)=(x),& x{R} {cases}$ 做因式分解。