偏微分方程

偏微分方程期中试题，涵盖变分原理、波动方程、特征函数正交性与能量估计。

介绍变分问题的允许函数类、必要条件，并讨论极小曲面与膜平衡问题。

对于弦的情形就是一维的 (维数关注空间变量, 不考虑时间)。

一维热传导方程初值问题 若 , 那么积分 有意义, 称其为 的 Fourier 变换, 记作。

梯度算子, 对每一分量求偏导的向量 eg 散度, 理解为 , 即先算梯度再做点积, eg {curl} 旋度, 理解为 , 即先算梯度, 再做叉积 拉普拉斯算子, 针对空间变量, 对每一维的二阶偏导求和。

对于弦的情形就是一维的 (维数关注空间变量, 不考虑时间)。

用球面平均法推导三维波动方程的 Kirchhoff 公式，并组合初位移、初速度与外力的贡献。

介绍一维波动方程混合问题及其广义解的积分恒等式定义。

与波动方程的区别在于此时 对应的 ODE 是一阶的, 故解是指数函数而不是三角函数。

整理 Laplace 方程的基本解、Green 公式与解的积分表示。

整理极小曲面问题所需的光滑试验函数、逼近核与基本引理。

设满足 , 则 不能在 内达到它在 上的非负最大值。

设 且满足 , 则 在 上的最大值必在 的抛物边界 上达到, 即。

偏微分方程的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

圆锥杆纵振动、变分问题及其边值形式，以及一阶方程的特征线法练习。

波动方程的斜线初值、偶延拓与半无界问题唯一性练习。

2pt] u{t=0}=(x), & -<x< {cases}。

围绕半无界热传导、分离变量、边界条件和解的导数估计整理第 4 次作业。

整理热方程的最大值原理、唯一性与能量估计，以及典型区域 Green 函数练习。

圆盘内外的调和函数、Neumann 边值问题与上半平面 Poisson 公式练习。

4pt] { u}{ n}+(x)u{1}=1 u{2}=2 {cases}。

4pt] u(0)=u(1)=0 {cases}。

围绕 Harnack 定理、调和函数与极值原理整理的偏微分方程习题与证明。

偏微分方程中关于「热传导」的课程笔记。

偏微分方程中关于「位势」的课程笔记。

半线性: 最高阶导数项的系数与未知函数及其导数无关。

偏微分方程复习题与证明提纲，涵盖变分、波动方程、热方程和位势问题。

逐点求解 考虑曲线 $l:{cases} {{d} x}{{d} t}=a(x)\\ x(0)=c0 {cases}(x0,t0)c0=g(x0,t0)$。

${cases} u= u{tt}-a^2u{xx}=f(x,t)& {R}(0,)\\ u(x,0)=(x), & x{R}\\ ut(x,0)=(x),& x{R} {cases}$ 做因式分解。