抽象代数

从整数同余理解左右陪集，证明陪集划分与 Lagrange 定理，并用例子区分必要条件和存在性。

用整数、非零实数与置换理解群公理，证明子群判别法，并分清有限情形与一般情形。

从同态的核理解正规子群，证明商群运算与代表元无关，再推导群同态基本定理并练习求核与像。

从生成子群的最小性理解循环群，用指数何时相同区分有限与无限情形，并练习寻找生成元。

从最小正周期出发，证明幂的阶公式，辨清 Lagrange 定理的方向，再计算循环群中的阶分布、方程根数与直积中的阶。

围绕群、环、域与模组织抽象代数笔记，并给出适合连续阅读的入口。

在准备 级强基抽象代数期末考试前, 按照对张强老师往年题的观察应该会考察 阶群是否可解, 是否为单群 由于证明过程过为复杂, 故写下本部分作为记录。

抽象代数的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

按基本代数结构、群作用、Sylow 定理、环与理想、域扩张整理 60 个讲义入口。

收录 2020 至 2023 级抽象代数期末回忆题及参考解答，涉及群、环、域与多项式等内容。

从环同态、理想和商环出发，整理整环、高斯整数与分式域的基本构造。

{可解群, 单群, Jordan-Holder 定理}。

介绍环上的左模与右模、子模、商模、模同态及同态基本定理，并整理自由模、基和秩。

如果群 的子群 满足: , 有 那么称 是 的正规子群, 记作。

给出群同构于两个子群直积的判定条件，并说明其与集合乘积可交换条件的区别。

系统整理群作用、忠实作用与 Cayley 定理，推导轨道-稳定子定理、类方程和 Burnside 引理，并讨论 p-群应用。

平面上(或空间中)的一个变换 如果保持任意两点的距离不变, 那么称 是平面上(或空间中)的一个正交点变换(或保距变换)(isometry)。

汇总环、幺环、可逆元、零因子、域与群等抽象代数入门定义。

介绍循环群、生成元与元素的阶，并整理有限循环群的判别和典型习题。

有限 Abel 群与有限生成 Abel 群的结构笔记尚未展开，目前仅保留定理开头。

介绍单扩张、子域与由元素集合生成的子域等域扩张基本概念。

系统整理整环中的整除、不可约元与素元、最大公因子，以及欧几里得整环、主理想整环、唯一因子分解整环和诺特环。

介绍子群判定、左右陪集与指数，推导 Lagrange 定理及循环群结论，并附 Euler 定理、Fermat 小定理和练习。

整理 n 元对称群中的轮换分解、置换奇偶性、交错群和生成元，并附共轭与生成练习。

设群 的阶 , 其中 为素数, , 则对 , 中必有 阶子群, 其中 阶子群(即 的最高方幂阶子群)称为 的 Sylow -子群。