第二章 波动方程

知识点与笔记

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   §1 一阶线性方程的特征线解法

   印刷页 p.31 起。沿特征曲线将偏微分方程转化为常微分方程。

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   §2 初值问题（一维情形）

   印刷页 p.35 起。组织初位移、初速度与外力的贡献；笔记侧重因式分解与 Duhamel 原理。

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   2.1 问题的简化

   印刷页 p.35 起。利用线性叠加把一般初值问题拆成基本问题。

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   2.2 解的表达式

   印刷页 p.38 起。理解一维波动方程的解如何由初始数据确定。

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   2.3 依赖区间、决定区域和影响区域

   印刷页 p.41 起。在时空图中辨别数据对解的作用范围。

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   2.4 能量不等式

   印刷页 p.44 起。用能量估计比较不同数据对应的解。

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   2.5 半无界问题

   印刷页 p.49 起。结合边界条件研究半直线上的传播。

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   §3 初值问题（高维情形）

   印刷页 p.55 起。从一维公式转向多维空间中的波动。

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   3.1 解的表达式

   印刷页 p.55 起。通过球面平均理解三维 Kirchhoff 公式与非齐次项。

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    3.2 特征锥与惠更斯原理

    印刷页 p.61 起。比较特征锥内的数据依赖与波的传播特征。

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    §4 混合问题

    印刷页 p.65 起。同时处理初始数据和有界空间的边界约束。

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    4.1 分离变量法

    印刷页 p.65 起。借助特征值与特征函数构造级数解。

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    4.2 物理意义、驻波法与共振

    印刷页 p.80 起。把模态展开与受迫振动联系起来。

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    4.3 能量不等式

    印刷页 p.83 起。在有界区域上用能量控制解的变化。

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    4.4 广义解

    印刷页 p.85 起。以试验函数和积分恒等式表述波动方程混合问题。

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    §5 一阶拟线性双曲方程式概述

    印刷页 p.91 起。教材标星节。进一步认识一阶拟线性双曲方程。

教材定位：《数学物理方程讲义》第三版第二章，pp.31-107；目录 I-II，PDF 第 8-9 页。对应《2021-第二章.pdf》。