第四章 位势方程

知识点与笔记

1. 1

   §1 基本解与 Green 函数

   印刷页 p.169 起。把局部微分方程联系到积分表示与边界数据。

2. 2

   1.1 基本解与 Green 公式

   印刷页 p.169 起。整理 Laplace 基本解、Green 恒等式与积分表示。

   阅读 →
3. 3

   1.2 Green 函数

   印刷页 p.174 起。让基本解与指定区域的边界条件相适配。

4. 4

   1.3 圆上的 Poisson 公式

   印刷页 p.178 起。用圆周上的边界值表示圆内调和函数。

5. 5

   §2 极值原理与调和函数的性质

   印刷页 p.184 起。通过比较和平均性质认识椭圆型方程的解。

6. 6

   2.1 极值原理

   印刷页 p.184 起。区分弱极值、强极值与边界点结论。

7. 7

   2.2 边值问题解的最大模估计

   印刷页 p.188 起。用源项与边界数据控制解的大小。

8. 8

   2.3 能量模估计

   印刷页 p.191 起。通过积分分部建立能量估计。

9. 9

   2.4 调和函数的性质

   印刷页 p.193 起。联系调和性、平均性质与局部行为。

10. 10

    §3 变分方法

    印刷页 p.196 起。将椭圆型边值问题转化为函数空间中的变分问题。

11. 11

    3.1 H¹(Ω) 空间

    印刷页 p.196 起。为弱导数与能量泛函建立函数空间背景。

12. 12

    3.2 变分问题的解的存在唯一性

    印刷页 p.200 起。在变分框架中讨论解的存在与唯一性。

13. 13

    3.3 Ritz-Galerkin 近似解法

    印刷页 p.205 起。教材标星小节。用有限维子空间构造近似解。

14. 14

    §4 Cauchy 问题的不适定性

    印刷页 p.210 起。教材标星节。考察椭圆型 Cauchy 数据与稳定性的关系。

教材定位：《数学物理方程讲义》第三版第四章，pp.169-220；目录 II-III，PDF 第 9-10 页。对应《2021-第四章.pdf》与《2021-Ritz-Galerkin方法.pdf》。