第三章 热传导方程

知识点与笔记

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   §1 初值问题

   印刷页 p.108 起。建立整空间热方程的初值求解路径。

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   1.1 Fourier 变换

   印刷页 p.108 起。用频率变量把空间微分转化为代数运算。

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   1.2 Poisson 公式

   印刷页 p.116 起。通过积分表示观察初始温度的演化。

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   1.3 广义函数简介

   印刷页 p.121 起。用试验函数理解广义函数与广义导数。

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   1.4 基本解

   印刷页 p.131 起。把热核作为构造解的基本对象。

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   1.5 半无界问题

   印刷页 p.135 起。按端点条件选择延拓与积分表示。

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   §2 混合问题

   印刷页 p.140 起。在有界空间上同时满足初值和边界条件。

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   2.1 有界杆的热传导问题

   印刷页 p.140 起。以特征函数展开描述有界杆的温度变化。

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   2.2 圆形区域上的热传导问题

   印刷页 p.143 起。教材标星小节。研究圆形区域中的热传导。

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    §3 极值原理与最大模估计

    印刷页 p.149 起。利用比较与能量方法控制解。

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    3.1 弱极值原理

    印刷页 p.149 起。辨别抛物边界与内部极值之间的关系。

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    3.2 第一边值问题解的最大模估计

    印刷页 p.151 起。由内部源项、初值和边界值估计解。

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    3.3 第二、三边值问题解的最大模估计

    印刷页 p.152 起。在通量或混合边界条件下建立估计。

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    3.4 初值问题解的最大模估计

    印刷页 p.155 起。讨论整空间初值问题中的最大模控制。

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    3.5 边值问题解的能量模估计

    印刷页 p.156 起。由积分恒等式获得能量意义下的控制。

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    3.6 反向问题的不适定性

    印刷页 p.159 起。教材标星小节。考察逆向恢复初始温度时的稳定性。

教材定位：《数学物理方程讲义》第三版第三章，pp.108-168；目录 II，PDF 第 9 页。对应《2020-第三章.pdf》。