度量空间

知识点与笔记

1. 1

   1.1 度量空间的基本概念

   用距离描述收敛、连续与开闭集。

2. 2

   1.2 完备度量空间

   以 Cauchy 列刻画空间中极限的存在。

3. 3

   1.2.1 完备性

   比较收敛列与 Cauchy 列，辨认完备空间。

4. 4

   1.2.2 压缩映射

   通过迭代寻找不动点，并联系积分方程。

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5. 5

   1.2.3 纲

   通过稠密集、疏集和 Baire 定理理解完备性的作用。

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6. 6

   1.2.4 完备化

   将度量空间等距嵌入完备空间。

7. 7

   1.3 列紧集

   用子列收敛描述集合的紧致性质。

8. 8

   1.4 紧集

   连接有限覆盖、连续映射和紧性。

9. 9

   1.5 Arzelà-Ascoli 定理

   以一致有界和等度连续分析连续函数族。

教材定位：徐小绪《泛函分析简明教程》（2025-12-12）第 1 章，正文标页 4-26。