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高等代数 · 已有部分内容

多项式

整除、最大公因式、因式分解与重因式。

知识点与笔记

  1. §1 数域

    教材第 1 章 §1，p.1。先确定系数所属数域，辨认四则运算的封闭性。

  2. §2 一元多项式

    教材第 1 章 §2，p.2。从形式表达式、次数与运算开始，区分多项式和它给出的函数。

  3. §3 整除的概念

    教材第 1 章 §3，p.5。用带余除法组织整除、余式及其唯一性的推理。

  4. §4 最大公因式

    教材第 1 章 §4，p.8。通过辗转相除求最大公因式，联系互素与线性组合表示。

  5. §5 因式分解定理

    教材第 1 章 §5，p.12。以不可约多项式为基本因子，理解分解的存在性和唯一性。

  6. §6 重因式

    教材第 1 章 §6，p.15。利用形式导数判断重因式，并追踪因子的重数。

  7. §7 多项式函数

    教材第 1 章 §7，p.16。把代入取值与根联系起来，理解根的个数对多项式的约束。

  8. §8 复系数与实系数多项式的因式分解

    教材第 1 章 §8，p.18。比较复数域和实数域上的因子形式。补充链接为复变函数笔记中的共轭根例题，只覆盖本节的一部分。

    阅读

  9. §9 有理系数多项式

    教材第 1 章 §9，p.19。从整系数多项式出发，考察有理根与不可约性判别。

  10. §10 多元多项式（选学）

    教材第 1 章 §10，p.22。目录标星选学。引入多个不定元，按单项式的次数与次序组织运算。

  11. §11 对称多项式（选学）

    教材第 1 章 §11，p.26。目录标星选学。从变量置换的不变性出发，讨论初等对称多项式的表达作用。

习题与资料

  • 教师讲义

    贾惠莲：第七章 多项式

    讲义封面与第一周课外作业已核对；对应教材第一章。

  • 教材习题

    第 1 章习题与补充题

    第五版第 1 章，习题起于 p.29，补充题起于 p.30；仅作题目位置索引，未录入题目正文或解答。

  • 讲义对照

    教师第七章与教材第一章的节号对照

    大一下/ppt/第七章多项式.pdf：教师 §7.1、§7.2、§7.3、§7.4 分别对应教材 §2、§3、§4、§5；教师 §7.5 合讲教材 §7 多项式函数与 §6 重因式；教师 §7.6、§7.7 对应教材 §8、§9。相应 PDF 起页为 5、15、18、24、28、30、33；教材数域及选学 §10-11 不据此虚设教师节号。

  • 本地作业

    第一周作业：整除、余式与互素

    大一下/作业/第一周作业题目.pdf，PDF 第 1 页：A 组第 1、3、6、7、9 题对应教材第一章 §3；第 8、10 题与 B 组第 1 题对应 §4；B 组第 2 题涉及 §6 重因式。只定位已核实题目，尚无公开链接。

教材定位：北京大学《高等代数》第五版第 1 章。

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