群

在准备 级强基抽象代数期末考试前, 按照对张强老师往年题的观察应该会考察 阶群是否可解, 是否为单群 由于证明过程过为复杂, 故写下本部分作为记录。

{可解群, 单群, Jordan-Holder 定理}。

如果群 的子群 满足: , 有 那么称 是 的正规子群, 记作。

给出群同构于两个子群直积的判定条件，并说明其与集合乘积可交换条件的区别。

系统整理群作用、忠实作用与 Cayley 定理，推导轨道-稳定子定理、类方程和 Burnside 引理，并讨论 p-群应用。

平面上(或空间中)的一个变换 如果保持任意两点的距离不变, 那么称 是平面上(或空间中)的一个正交点变换(或保距变换)(isometry)。

介绍循环群、生成元与元素的阶，并整理有限循环群的判别和典型习题。

{有限 Abel 群和有限生成的 {Abel} 群的结构}。

介绍子群判定、左右陪集与指数，推导 Lagrange 定理及循环群结论，并附 Euler 定理、Fermat 小定理和练习。

整理 n 元对称群中的轮换分解、置换奇偶性、交错群和生成元，并附共轭与生成练习。

设群 的阶 , 其中 为素数, , 则对 , 中必有 阶子群, 其中 阶子群(即 的最高方幂阶子群)称为 的 Sylow -子群。