数理统计

章节与知识点

按付利亚《数理统计》讲义的六章课程结构组织，节次取自各分节讲义；线性模型采用 2020 年回归讲义。配合两种参考教材定位相关内容。

1. 01

   第一章 绪论

   章节框架

   认识统计推断与概率模型的关系，从数据的收集、分析和解释理解数理统计的任务。

   chapter1绪论.pdf，第 4 页列出 1.1-1.4；第 5-21 页展开。

   1. 1.1 数理统计与概率论的关系

      比较从分布描述随机性与从样本推断未知量这两个方向。

   2. 1.2 什么是统计学

      围绕数据的收集、整理、分析与解释认识统计学。

   3. 1.3 数理统计的任务

      把实际问题表述为参数估计或假设检验问题。

   4. 1.4 统计学发展简史

      沿讲义介绍的历史线索认识统计方法的形成。

   • 教师讲义
     绪论与课程总纲

     chapter1绪论.pdf，第 3-4 页总纲，第 5-21 页绪论。

2. 02

   第二章 抽样和抽样分布

   已有部分内容

   建立总体、样本和统计量的联系，研究样本均值、正态抽样分布与次序统计量。

   chapter2.1-2.2.pdf 第 2 页目录及 chapter2.3中文.pdf、chapter2.4中文.pdf、chapter2.5中文.pdf 第 2 页节标题；中文教材第 5 章，英文教材第 VI 章。

   1. 2.1 抽样

      区分总体分布、独立同分布样本与观测值，理解样本空间和联合分布。

   2. 2.2 统计量和样本矩

      用样本函数概括数据，区分样本均值、方差以及不同阶的样本矩。

   3. 2.3 样本均值

      考察不同总体下样本均值的分布，并联系大数定律与中心极限定理。

   4. 2.4 来自正态分布的抽样

      学习卡方、t 与 F 分布及其在正态样本中的构造。

   5. 2.5 次序统计量

      研究排序后样本的分布，以及最小值、最大值等统计量。

   • 教材定位
     总体、统计量与三大抽样分布

     中文教材第 5 章 5.1-5.4，pp.223-258；英文教材第 VI 章。

   • 概念笔记
     特征函数的定义

     既有笔记“特征函数定义”，作为样本均值分布的概率论工具补充。

   • 习题
     往年期末：抽样分布题

     “2024fly”题组第一部分第 3、6 题，涉及 F 与 t 分布的关系；仅题目。

3. 03

   第三章 点估计

   已有部分内容

   构造和比较估计量，学习充分性、指数族、无偏估计，以及损失、贝叶斯估计和等变方法。

   chapter3.1中文.pdf 至 chapter3.8Location-Scale.pdf 各分节标题；充分统计量采用 chapter3.3中文修正版本.pdf。中文教材 5.5、6.1-6.5；英文教材第 VII 章。

   1. 3.1 参数估计方法

      从样本矩和似然函数出发构造参数估计。

   2. 3.2 点估计的性质

      用无偏性、有效性、均方误差与相合性比较估计量。

   3. 3.3 充分统计量

      理解样本信息的压缩及充分统计量的判定。

   4. 3.4 指数族

      识别指数族的表示形式，联系其充分统计量。

   5. 3.5 无偏估计

      围绕方差下界、充分性与完备性研究最优无偏估计。

   6. 3.6 损失函数与风险函数

      用损失衡量单次决策的误差，用风险比较估计规则。

   7. 3.7 贝叶斯估计

      联系先验、后验与损失函数，并讨论极小极大估计。

   8. 3.8 位置与尺度不变性

      观察平移和尺度变换下估计规则的对应变化。

   • 教师讲义
     充分性、无偏估计与决策方法

     chapter3.3中文修正版本.pdf 第 2 页；chapter3.5中文版本无偏估计.pdf 第 2 页；chapter3.6LossFunctionEnglish.pdf 第 2 页；chapter3.7BayeseStatistic中文.pdf 第 1 页；chapter3.8Location-Scale.pdf 第 2 页。

   • 习题
     往年期末：点估计与统计决策

     “2024fly”题组第二至四题，涉及矩估计、MLE、CR 下界、UMVUE、损失函数与贝叶斯估计；仅题目。

4. 04

   第四章 区间估计

   已有部分内容

   从点估计的精度问题进入置信区间，学习枢轴量、正态总体区间、大样本方法与贝叶斯区间。

   chapter4confidenceInterval.pdf 第 2 页目录，4.1-4.6；中文教材 6.6（p.300 起）；英文教材第 VIII 章。

   1. 4.1 引言

      讨论为何单个估计值之外还需要表达推断的不确定性。

   2. 4.2 置信区间

      理解置信区间的覆盖概率以及枢轴量的作用。

   3. 4.3 正态总体的抽样

      研究均值、方差、联合置信域，以及两总体均值差与方差比的区间。

   4. 4.4 构造置信区间的方法

      比较讲义中的枢轴量法与统计量方法。

   5. 4.5 大样本置信区间

      借助渐近分布构造近似置信区间。

   6. 4.6 贝叶斯区间估计

      根据后验分布构造参数区间，区分其与置信区间的解释。

   • 教师讲义
     区间估计讲义

     chapter4confidenceInterval.pdf，第 2 页六节目录，全文件 85 页。

   • 习题
     往年期末：方差比置信区间

     “2024fly”题组第六题第 (1) 问，两正态总体方差比的置信区间；仅题目。

5. 05

   第五章 假设检验

   已有部分内容

   从检验的错误概率与功效出发，学习最强检验、似然比方法、正态总体检验与分布拟合。

   chapter5.1-5.3HypethesisTest.pdf 第 2 页；chapter5.4.pdf 第 2 页；chpater5.5.pdf 第 2 页含 5.5、5.6。英文教材第 IX 章与 XI.2；中文教材第 7 章。

   1. 5.1 引言

      建立原假设、备择假设、拒绝域及两类错误的概念。

   2. 5.2 简单假设对简单备择

      用似然比构造检验并研究最强性。

   3. 5.3 复合假设

      学习广义似然比检验与一致最强检验。

   4. 5.4 正态总体的假设检验

      比较单个和多个正态总体均值、方差的检验问题。

   5. 5.5 卡方检验

      研究似然比的渐近分布、拟合优度、多项分布比较与列联表独立性。

   6. 5.6 分布函数的推断

      从经验分布函数进入 Kolmogorov-Smirnov 检验与分布函数置信带。

   • 教师讲义
     卡方检验与分布函数推断

     chpater5.5.pdf，第 2 页列出 5.5、5.6 目录，全文件 83 页。

   • 习题
     往年期末：势函数、最强检验与拟合检验

     “2024fly”题组第一部分第 4、7 题及第五题，涉及势函数、拟合优度、MPT、UMPT 与广义似然比检验；仅题目。

6. 06

   第六章 线性模型

   章节框架

   以线性回归描述变量关系，学习一元、多元模型与最小二乘估计的性质。

   chapter1绪论.pdf 第 3 页列出第六章线性模型；分节依 2020 年老版/第四章/linearRegression（最后）.pdf 第 2 页五项目录。中文教材 8.4，英文教材第 X 章可作对照。

   1. 回归导论

      从变量之间的关系提出回归建模问题。

   2. 一元线性回归模型

      区分响应变量、解释变量与随机误差。

   3. 最小二乘法

      通过残差平方和确定回归系数。

   4. 多元线性回归模型

      将多个解释变量纳入线性模型的矩阵表示。

   5. 最小二乘估计的性质

      在模型假设下考察估计量的期望、方差和最优性。

   • 教师讲义
     Linear Regression Models

     老版/第四章/linearRegression（最后）.pdf，2020-12-20，第 2 页目录，全文件 32 页。