群论

从整数同余理解左右陪集，证明陪集划分与 Lagrange 定理，并用例子区分必要条件和存在性。

用整数、非零实数与置换理解群公理，证明子群判别法，并分清有限情形与一般情形。

从同态的核理解正规子群，证明商群运算与代表元无关，再推导群同态基本定理并练习求核与像。

从生成子群的最小性理解循环群，用指数何时相同区分有限与无限情形，并练习寻找生成元。

从互素条件进入单位群，用 CRT 和素数幂结构拆分问题，避免把模数互素误当成答案积性。

用幂的阶公式、循环群计数和直积周期，处理竞赛中的最小正周期与阶分布。

从最小正周期出发，证明幂的阶公式，辨清 Lagrange 定理的方向，再计算循环群中的阶分布、方程根数与直积中的阶。

从模 n 单位群的结构出发，把最小公倍数拆成素数分量，用累积计数差分计算所有元素的阶之和，并给出 C++17 实现。