工程数学新方法

章节与知识点

按蒋耀林《工程数学的新方法》的六章二十三节组织，节内导读概括相关子节；补充阅读分别标明对应主题与原课程。

1. 01

   第 1 章 电路模拟的数值方法

   已有部分内容

   从电路模型出发，连接变换方法、非线性方程求解与微分方程离散，区分稳态和瞬态分析。

   蒋耀林《工程数学的新方法》第 1 章，1.1-1.4，pp.1-55；目录见 PDF 第 7 页。

   1. 1.1 电路模拟的基本概念与方法

      p.1 起。认识电路模型、复相位分析与刚性问题，理解模型形式怎样影响求解方法。

   2. 1.2 电路模拟的 Laplace 变换方法

      p.6 起。学习 Laplace 变换及常用函数的变换，联系电路方程和系统矩阵的特征值计算。

   3. 1.3 稳态分析的基本方法

      p.17 起。以 Newton 法求解非线性方程，结合 Jacobi 矩阵计算和同伦延拓理解稳态求解。

   4. 1.4 瞬态分析的基本方法

      p.30 起。从时间域分析进入初值与边值问题的数值解法，并考察数值方法的稳定性。

   • 补充作业
     Newton 法的局部收敛：泛函分析作业

     对应 1.3.1（p.17 起）。原泛函分析（徐小绪）2025-09-15 作业第 1.1.2 题，通过压缩映射说明标量 Newton 迭代的局部收敛，并附数值实验代码。

   • 基础笔记
     多元函数的微分：雅可比矩阵与链式法则

     对应 1.3.2（p.24 起）的微分基础。原数学分析笔记的“方向导数与偏导数”部分给出雅可比矩阵及链式法则。

2. 02

   第 2 章 矩阵的伪谱方法

   已有部分内容

   从谱在扰动下的变化认识伪谱，进而学习计算、加速及系统稳定性中的应用。

   蒋耀林《工程数学的新方法》第 2 章，2.1-2.7，pp.56-101；目录见 PDF 第 7-8 页。

   1. 2.1 伪谱概念的提出

      p.56 起。从问题背景理解为何需要在特征值之外研究伪谱。

   2. 2.2 矩阵伪谱的定义及其性质

      p.59 起。回顾矩阵谱，再建立矩阵伪谱的定义并研究其性质。

   3. 2.3 算子伪谱及其性质

      p.70 起。以算子谱为基础，考察伪谱概念在算子情形下的表述与性质。

   4. 2.4 伪谱的计算

      p.75 起。比较随机扰动法与格点 SVD 法，理解伪谱区域的计算思路。

   5. 2.5 伪谱加速技术

      p.80 起。学习区域排除、矩阵投影、奇异值计算加速与曲线跟踪怎样减少计算工作。

   6. 2.6 伪谱半径的计算

      p.94 起。围绕伪谱半径这一量考察相应的计算方法。

   7. 2.7 伪谱的应用

      p.98 起。联系微分系统的稳定性与流体系统的不稳定性，理解伪谱分析的用途。

   • 基础笔记
     非线性微分方程组：Lyapunov 稳定性

     对应 2.7.1（p.98 起）的稳定性背景。原常微分方程笔记介绍稳定、一致稳定和渐近稳定的定义与例子，作为进入伪谱应用前的概念准备。

3. 03

   第 3 章 信息检索的矩阵方法

   章节框架

   用矩阵描述文本与网络信息，分别通过奇异值分解和非负矩阵理论研究检索与排序。

   蒋耀林《工程数学的新方法》第 3 章，3.1-3.2，pp.102-139；目录见 PDF 第 8 页。

   1. 3.1 基于奇异值分解理论的文本信息检索

      p.102 起。由奇异值分解进入文本检索的矩阵表示，并考察信息变化时的分解更新。

   2. 3.2 基于非负矩阵理论的网络信息检索

      p.114 起。回顾线性代数基础，学习非负矩阵理论、网页排序方法及 PageRank 模型的更新。

4. 04

   第 4 章 高维数据的张量理论与方法

   章节框架

   用张量组织多维数据，学习基本运算、奇异值分解与标准分解，并联系低秩逼近和应用。

   蒋耀林《工程数学的新方法》第 4 章，4.1-4.3，pp.140-180；目录见 PDF 第 8-9 页。

   1. 4.1 张量的基本概念和运算

      p.140 起。认识张量及其矩阵表示，掌握后续分解所需的基本运算和概念。

   2. 4.2 张量的奇异值分解

      p.152 起。学习张量奇异值分解的定义、性质与计算，并讨论最佳秩-(r1,r2,r3) 逼近。

   3. 4.3 张量的标准分解

      p.166 起。联系标准分解与张量秩，考察分解的性质、计算及简单应用。

5. 05

   第 5 章 分数阶微分方程的理论与方法

   章节框架

   从函数空间和特殊函数准备出发，区分不同分数阶导数，研究相应方程的解及求解方法。

   蒋耀林《工程数学的新方法》第 5 章，5.1-5.4，pp.181-216；目录见 PDF 第 9 页。

   1. 5.1 预备知识

      p.181 起。准备本章所用的函数空间与特殊函数知识。

   2. 5.2 分数阶微分方程的基本概念

      p.184 起。认识 Riemann-Liouville 分数阶积分和导数，以及 Caputo 分数阶导数，比较各自的性质。

   3. 5.3 分数阶微分方程解的性质

      p.191 起。分别考察含 Riemann-Liouville 导数与 Caputo 导数的方程及其解的性质。

   4. 5.4 分数阶微分方程的求解方法

      p.201 起。学习 Volterra 积分方程法、Laplace 变换法与数值解法，联系不同求解途径。

6. 06

   第 6 章 微分方程的实时并行计算方法

   章节框架

   围绕 Parareal 算法，连接迭代格式、收敛与稳定性分析、Krylov 加速及并行实现。

   蒋耀林《工程数学的新方法》第 6 章，6.1-6.3，pp.217-264；目录见 PDF 第 9 页，参考文献从 p.265 起。

   1. 6.1 Parareal 算法的基本过程和收敛性

      p.217 起。理解迭代格式，分别讨论线性与非线性常微分方程、偏微分方程情形下的收敛性。

   2. 6.2 Parareal 算法的性质分析

      p.236 起。分析数值稳定性，学习 Krylov 子空间加速，并比较 Parareal 与其他算法的联系。

   3. 6.3 Parareal 算法的并行实现

      p.259 起。从 MPI 编程基础进入并行实现，结合加速比分析与数值例子理解计算效果。