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课程总纲 · 6 个单元 · 39 个知识点

微分几何

从空间曲线出发，学习曲面的切空间、度量、联络与曲率，理解局部内蕴几何和外蕴几何的联系。

章节与知识点

按课程资料《绪论》至第六章及合册扫描件的实际目录组织六章三十九节，依次学习曲线论、仿射几何、曲面与局部几何。

  1. 第1章 绪论

    章节框架

    认识几何研究的对象、分类与本课程的问题。

    课程材料合册第 1 章，印刷页 1-6（PDF 第 3-8 页）；节次据 PDF 第 1 页目录。

    1. 1.1 什么是几何学

      印刷页 1 起。从空间形状与相互关系进入几何问题。

    2. 1.2 几何学的分类

      印刷页 2 起。比较不同几何分支所保留的结构。

    3. 1.3 几何学的研究任务

      印刷页 5 起。关注几何对象的刻画、比较与分类。

    4. 1.4 本书的任务

      印刷页 6 起。明确从曲线进入曲面局部几何的学习路线。

  2. 第2章 三维欧氏空间中的向量代数和曲线论

    章节框架

    以弧长、曲率、挠率和活动标架刻画空间曲线。

    课程材料合册第 2 章，印刷页 7-27（PDF 第 9-29 页）；节次据 PDF 第 1 页目录。

    1. 2.1 三维欧氏空间中的向量及向量值函数

      印刷页 7 起。用向量运算与向量值函数描述空间中的变化。

    2. 2.2 三维欧氏空间中的曲线：弧长

      印刷页 9 起。联系曲线参数、速度与弧长。

    3. 2.3 曲线形状的刻画：曲率和挠率

      印刷页 14 起。区分曲线弯曲与偏离密切平面的程度。

    4. 2.4 弗雷内（Frenet）标架及其运动公式，曲线的存在性和唯一性

      印刷页 22 起。从标架的变化理解曲线的局部重建。

  3. 第3章 仿射空间中的几何学

    章节框架

    从坐标变换走向向量场、余向量场与张量场。

    课程材料合册第 3 章，印刷页 28-65（PDF 第 30-67 页）；节次据 PDF 第 1 页目录。

    1. 3.1 仿射空间中的直线和平面、仿射坐标和仿射坐标变换

      印刷页 28 起。区分点与向量，考察仿射坐标的变换。

    2. 3.2 几何量

      印刷页 32 起。辨别几何对象与其坐标表达。

    3. 3.3 仿射空间中的拓扑与实标量场

      印刷页 35 起。用邻域和连续性讨论空间上的实值函数。

    4. 3.4 广义坐标系、广义坐标变换

      印刷页 38 起。比较不同坐标下对同一对象的描述。

    5. 3.5 仿射空间中的向量值函数和向量场：作为有向线段的向量

      印刷页 42 起。从有向线段出发理解向量场及其分量。

    6. 3.6 仿射空间中的向量值函数和向量场：作为方向导数的向量

      印刷页 50 起。把向量理解为作用于函数的微分运算。

    7. 3.7 仿射空间中的正则曲线

      印刷页 54 起。用非退化的切向量描述正则曲线。

    8. 3.8 余向量场、函数的微分

      印刷页 55 起。从对向量的线性作用认识余向量与微分。

    9. 3.9 张量场

      印刷页 59 起。把向量和余向量的语言推广到张量。

    • 资料附录
      附录 A：点集拓扑基础

      课程材料合册，印刷页 164-165（PDF 第 166-167 页）。

  4. 第4章 仿射空间中的曲面

    已有部分内容

    由局部表示建立曲面的切空间、余切空间和切映射。

    课程材料合册第 4 章，印刷页 66-91（PDF 第 68-93 页）；节次据 PDF 第 2 页目录。

    1. 4.1 对曲面的直观刻画

      印刷页 66 起。从局部二维的直观认识曲面。

    2. 4.2 隐函数定理、仿射空间中的曲面

      印刷页 69 起。借助隐函数定理理解曲面的局部表示。

    3. 4.3 曲面的切空间、曲面上的切向量场

      印刷页 78 起。将曲面上的切方向组织为切空间和向量场。

    4. 4.4 曲面的余切空间、微分形式

      印刷页 82 起。在曲面上引入作用于切向量的线性对象。

    5. 4.5 补充：切空间的另一种定义方法

      印刷页 84 起。比较切空间的不同定义及其联系。

    6. 4.6 曲面之间的映射、切映射

      印刷页 87 起。考察曲面映射如何传递切向量。

    • 先修笔记
      多元函数的微分：反函数定理与隐函数定理

      已有数学分析笔记《多元函数的微分》中的反函数定理、隐函数定理两节；配合本章 4.2 阅读。

    • 资料附录
      附录 B：逆映射定理和隐函数定理

      课程材料合册，印刷页 166-170（PDF 第 168-172 页）。

  5. 第5章 三维欧氏空间中曲面的局部内蕴几何

    已有部分内容

    围绕度量、联络、平行移动和测地线研究曲面的内在几何。

    课程材料合册第 5 章，印刷页 92-147（PDF 第 94-149 页）；节次据 PDF 第 2 页目录。

    1. 5.1 引子：被束缚在曲面上的质点

      印刷页 92 起。从受限运动提出曲面上的几何问题。

    2. 5.2 度量／第一基本形式

      印刷页 97 起。用第一基本形式描述切向量的长度和夹角。

    3. 5.3 联络

      印刷页 101 起。理解曲面上沿方向求导所需的结构。

    4. 5.4 补充：向量场的交换子、Lie 括号

      印刷页 105 起。通过微分运算的交换子比较向量场。

    5. 5.5 向量的平行移动

      印刷页 108 起。沿曲线比较不同点的切向量。

    6. 5.6 测地线和指数映射

      印刷页 114 起。将测地线的初值与局部几何联系起来。

    7. 5.7 弧长变分

      印刷页 121 起。通过曲线族考察弧长的变化。

    8. 5.8 局部平坦曲面、Riemann 曲率

      印刷页 127 起。用曲率刻画局部几何偏离平坦的方式。

    9. 5.9 Riemann 曲率的性质

      印刷页 134 起。整理曲率的结构性质及其相互关系。

    10. 5.10 Jacobi 方程、局部法坐标

      印刷页 138 起。研究邻近测地线的变化与局部坐标。

    11. 5.11 常 Gauss 曲率曲面

      印刷页 143 起。考察高斯曲率恒定时的曲面几何。

    • 补充笔记
      曲面面积与第一基本量 E、F、G

      已有数学分析笔记《曲面积分》中的“曲面的面积”一节；配合本章 5.2 阅读参数曲面的面积公式与第一基本量。

  6. 第6章 三维欧氏空间中曲面的局部外蕴几何

    章节框架

    用第二基本形式和相容方程联系曲面的内在度量与空间形状。

    课程材料合册第 6 章，印刷页 148-163（PDF 第 150-165 页）；节次据 PDF 第 2 页目录。

    1. 6.1 引子：内蕴和外蕴

      印刷页 148 起。区分由曲面度量决定的性质与依赖空间嵌入的性质。

    2. 6.2 第二基本形式

      印刷页 148 起。通过第二基本形式描述曲面的外在弯曲。

    3. 6.3 曲面局部合同的条件

      印刷页 152 起。讨论判定两个曲面局部形状一致所需的数据。

    4. 6.4 Gauss-Codazzi 方程、曲面的局部存在性

      印刷页 155 起。考察基本形式之间的相容条件与曲面的局部重建。

    5. 6.5 Gauss 绝妙定理

      印刷页 160 起。理解高斯曲率为何由内蕴度量决定。

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