Lebesgue积分

根据下极限的定义, 存在一个子列 使得 又 依测度收敛, 可得该子列也依测度收敛, 对其使用 Riesz 定理, 我们可以的到一个子列 满足积分极限与下极限相等并且几乎处处收敛到 . 再使用 Fatou 引理。

设有定义在 上的非负可测函数渐升列 且有 , 则。

若 , 则对任给 , 存在 上具有紧支集的连续函数 , 使得。

若 , 则对任给的 , 存在 , 使得当 中子集 的测度 时, 有。