课程总纲 · 7 个单元 · 49 个知识点
随机过程
研究随时间演化的随机现象，从泊松与更新过程进入马尔可夫链、布朗运动及其应用。
章节与知识点
按何书元《随机过程》第 1-7 章、49 个编号节次组织，配合课程讲义与概率论基础笔记。教材中带星号的节次仍保留在目录中；讲义的章号与教材章号分别注明。
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第一章 概率统计
已有部分内容复习事件、分布、期望与统计推断，为过程模型准备概率工具。
何书元《随机过程》第 1 章，§1.1-§1.8，p.1 起；目录见 PDF 第 9 页。
- 1.1 事件与概率
p.1 起。区分事件运算、概率及独立性。
- 1.2 随机向量及其分布
p.3 起。用联合分布描述多个随机变量。
- 1.3 数学期望及其计算
p.6 起。联系期望、条件期望与概率不等式。
- 1.4 总体、样本与次序统计量
p.11 起。从总体抽样进入样本及次序统计量。
- 1.5 特征函数和概率极限定理
p.13 起。借助特征函数理解分布与极限。
- 1.6 参数估计
p.16 起。认识最大似然估计与抽样分布的分位数。
- 1.7 置信区间和假设检验
p.17 起。区分区间估计与统计检验的任务。
- 1.8 随机变量举例
p.18 起。比较两点、二项、几何、泊松、指数和正态分布。
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第二章 泊松过程
章节框架从事件计数与到达间隔出发，讨论泊松过程的组合和推广。
何书元《随机过程》第 2 章，§2.1-§2.6，p.25 起；目录见 PDF 第 10 页。
- 2.1 计数过程和泊松过程
p.25 起。从随机过程与随机序列进入计数模型。
- 2.2 泊松呼叫流
p.32 起。联系计数分布、等待间隔与到达时刻。
- 2.3 年龄和剩余寿命
p.43 起。考察观察时刻前后的等待时间。
- 2.4 泊松过程的汇合与分流
p.46 起。分析汇合、分流和复合泊松过程。
- 2.5 泊松过程的参数估计
p.55 起。利用计数和到达时间估计过程参数。教材目录以星号标记本节。
- 2.6 非时齐泊松过程
p.60 起。用随时间变化的强度描述非时齐计数。教材目录以星号标记本节。
- 讲义随机过程的一些基本概念
本地课程资料「随机过程/ppt/随机过程的一些基本概念.pdf」，35 页。
- 讲义Poisson过程New
本地课程资料「随机过程/ppt/Poisson过程New.pdf」，72 页。
- 教材习题习题二
何书元《随机过程》第 2 章章末，p.66 起。
- 复习题泊松过程的汇合练习
本地课程资料「随机过程/ppt/0522复习.pdf」第 2 页，习题 2.4：多个独立泊松计数的汇合与期望。
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第三章 更新过程
章节框架把指数等待推广为一般更新间隔，研究长期行为与寿命问题。
何书元《随机过程》第 3 章，§3.1-§3.8，p.72 起；目录见 PDF 第 10-12 页。
- 3.1 更新过程
p.72 起。认识更新计数、更新函数和更新流。
- 3.2 更新定理
p.80 起。通过停时与更新定理讨论长期计数。
- 3.3 更新方程和分支过程
p.89 起。联系卷积、更新方程和分支模型。
- 3.4 开关系统
p.97 起。用交替运行状态描述系统行为。
- 3.5 年龄和剩余寿命
p.105 起。研究更新系统中已使用与尚待等待的时间。
- 3.6 年龄、剩余寿命和更新间隔的比较
p.112 起。比较观察时刻所在间隔与一般更新间隔。
- 3.7 延迟更新过程
p.119 起。允许首次更新具有不同的等待分布。教材目录以星号标记本节。
- 3.8 有偿更新过程
p.126 起。为每次更新赋予报酬，考察累积收益。教材目录以星号标记本节。
- 教材习题习题三
何书元《随机过程》第 3 章章末，p.131 起。
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第四章 离散时间马尔可夫链
章节框架以转移概率刻画逐步演化，讨论状态结构、长期分布与分支模型。
何书元《随机过程》第 4 章，§4.1-§4.9，p.136 起；目录见 PDF 第 12-13 页。
- 4.1 马氏链及其转移概率
p.136 起。用当前状态给出下一步的条件分布。
- 4.2 柯尔莫哥洛夫 - 切普曼方程
p.141 起。通过转移概率的合成计算多步分布。
- 4.3 状态的命名和周期
p.145 起。区分常返、非常返、正常返、零常返与周期。
- 4.4 状态空间分类
p.156 起。按互通关系组织状态空间并讨论随机游动。
- 4.5 不变分布
p.167 起。研究经过转移后保持不变的分布。
- 4.6 平稳可逆分布
p.174 起。联系平稳性、时间反演与可逆分布。
- 4.7 离散时间分支过程
p.184 起。通过代际繁殖模型讨论灭绝概率。
- 4.8 强大数律和中心极限定理
p.191 起。联系强马氏性与链的长期统计规律。教材目录以星号标记本节。
- 4.9 马氏链的统计推断
p.195 起。根据观测转移进行参数估计与检验。教材目录以星号标记本节。
- 讲义离散Markov过程——1
本地课程资料「随机过程/ppt/离散Markov过程——1.pdf」，36 页。
- 讲义离散Markov过程——2
本地课程资料「随机过程/ppt/离散Markov过程——2.pdf」，35 页。
- 讲义离散Markov过程——3
本地课程资料「随机过程/ppt/离散Markov过程——3.pdf」，61 页。
- 讲义离散Markov过程——4
本地课程资料「随机过程/ppt/离散Markov过程——4.pdf」，19 页。
- 教材习题习题四
何书元《随机过程》第 4 章章末，p.198 起。
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第五章 连续时间马尔可夫链
章节框架从转移速率和等待时间描述跳跃过程，研究生灭模型与极限分布。
何书元《随机过程》第 5 章，§5.1-§5.9，p.204 起；目录见 PDF 第 13-14 页。
- 5.1 连续时间马氏链的定义
p.204 起。把马氏性置于连续时间参数下。
- 5.2 泊松过程是马氏链
p.206 起。从计数过程理解连续时间马氏链的实例。
- 5.3 转移速率矩阵
p.209 起。用短时间转移行为刻画速率矩阵。
- 5.4 连续时间马氏链的结构
p.213 起。联系保守性、等待时间和跳转结构。
- 5.5 柯尔莫哥洛夫方程
p.220 起。利用向前与向后方程求转移概率。
- 5.6 生灭过程
p.226 起。讨论相邻状态间的出生与死亡转移。
- 5.7 连续时间分支过程
p.236 起。用连续时间模型刻画粒子的繁殖与消亡。
- 5.8 马氏链的极限分布
p.240 起。联系状态分类与平稳不变分布。
- 5.9 时间可逆的马氏链
p.250 起。讨论时间反演下的分布及其计算。
- 讲义连续时间Markov链——1
本地课程资料「随机过程/ppt/连续时间Markov链——1.pdf」，43 页。
- 讲义连续时间Markov链——2
本地课程资料「随机过程/ppt/连续时间Markov链——2.pdf」，62 页。
- 讲义连续时间Markov链——3
本地课程资料「随机过程/ppt/连续时间Markov链——3.pdf」，57 页。
- 教材习题习题五
何书元《随机过程》第 5 章章末，p.257 起。
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第六章 布朗运动
章节框架从连续轨迹的随机模型出发，讨论首中时、布朗桥与路径性质。
何书元《随机过程》第 6 章，§6.1-§6.6，p.261 起；目录见 PDF 第 14-15 页。
- 6.1 布朗运动
p.261 起。认识一维及二维布朗运动。
- 6.2 布朗运动的简单性质
p.264 起。分析布朗运动的基本分布性质。
- 6.3 首中时和 Arcsin 律
p.265 起。研究首次到达、最大值与反正弦分布规律。
- 6.4 布朗桥与经验过程
p.270 起。联系固定端点的过程与经验分布的波动。
- 6.5 布朗运动的轨迹
p.273 起。认识不可微、无限长及重对数律所描述的路径行为。教材目录以星号标记本节。
- 6.6 随机游动与布朗运动
p.276 起。考察离散随机游动与连续过程之间的联系。教材目录以星号标记本节。
- 讲义布朗运动NEW
本地课程资料「随机过程/ppt/布朗运动NEW.pdf」，68 页。讲义标题为第四章，对应本教材第六章。
- 教材习题习题六
何书元《随机过程》第 6 章章末，p.279 起。
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第七章 应用举例
章节框架把随机过程模型用于网页排序、排队和系统维修。
何书元《随机过程》第 7 章，§7.1-§7.3，p.281 起；目录见 PDF 第 14-15 页。
- 7.1 互联网的 PageRank 问题
p.281 起。以半马氏过程和转移速率矩阵理解网页排序。
- 7.2 简单排队问题
p.286 起。考察 M/G/1 忙期与 M/M/m 排队模型。
- 7.3 系统维修问题
p.293 起。利用随机过程描述维修和系统运行。
- 讲义PPT 应用举例
本地课程资料「随机过程/ppt/PPT 应用举例.pdf」，64 页。