第 5 章 非线性微分方程组

知识点与笔记

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   5.1 非线性方程研究的例子与概念

   从自治系统、相空间和平衡点进入稳定性；现有笔记含局部存在唯一性与稳定性定义。

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   5.2 自治微分方程组解的性质

   考察自治系统的轨线特点与解的基本性质。

3. 3

   5.3 平面线性系统的奇点及相图

   联系特征值与平面轨线形态，辨认初等奇点。

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   5.4 几乎线性系统解的稳定性

   利用线性近似分析平衡点附近的稳定性及其适用边界。

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   5.5 Lyapunov 第二方法

   通过定号函数及其沿轨线的变化判断稳定性，理解二次型构造。

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   5.6 二维自治微分方程组的周期解和极限环

   区分周期轨线与极限环，讨论极限环的存在、不存在和稳定性。

教材定位：《常微分方程及其应用》第二版第 5 章，目录第 viii–ix 页；孙小丹 ODE5 系列课件。