课程总纲 · 7 个单元 · 21 个知识点
离散数学
从集合、关系与函数出发，认识半群、群、环以及图与计数中的离散结构。
章节与知识点
按原离散数学七次作业的实际主题归纳为七个知识单元，不对应已核实的教材章次。图与计数保留入门内容，更深入的图论由“图论与组合”课程承接。
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集合
已有部分内容区分元素与子集，用集合运算表达条件，并通过证明和反例辨析集合命题。
原离散数学第一次作业的主题归纳：集合隶属与包含、幂集、集合运算及恒等式。
- 隶属、包含与幂集
辨别元素属于集合与集合包含于集合，理解空集和幂集的不同角色。
- 集合运算与恒等式
利用并、交、差与补集表达集合条件，建立运算之间的联系。
- 集合命题与反例
通过逐元素证明或具体反例判断集合命题是否成立。
- 作业第一次作业：集合与幂集
题目 P97/3-5、P98/6、8-10，包含集合判断、幂集和集合运算练习。
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二元关系
章节框架把关系表示为有序对的集合，学习关系的运算及其基本性质。
原离散数学第二次作业的主题归纳：笛卡尔积、二元关系、定义域与值域、关系性质。
- 笛卡尔积与二元关系
从有序对和笛卡尔积出发，将二元关系表示为积集的子集。
- 关系运算、定义域与值域
对关系作集合运算，区分关系涉及的起始元素与到达元素。
- 关系的性质
比较自反、反自反、对称、反对称和传递等条件的含义。
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闭包与偏序
章节框架通过复合和闭包研究关系的变化，再用等价关系与偏序组织集合中的元素。
原离散数学第三次作业的主题归纳：关系复合、闭包、等价关系、偏序与 Hasse 图。
- 关系复合与闭包
考察关系的连续作用，以及补充有序对后得到指定性质的过程。
- 等价关系与划分
联系等价类与集合划分，理解等价关系如何将元素归类。
- 偏序与 Hasse 图
从可比较关系和覆盖关系出发，表示有限偏序集的结构。
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函数、置换与基数
章节框架用映射描述离散对象间的对应，联系函数复合、置换与集合大小。
原离散数学第四次作业的主题归纳：单射、满射、双射、函数复合、置换与集合基数。
- 单射、满射与双射
结合定义域和陪域区分映射性质，用双射比较两个集合。
- 函数复合与置换
比较复合的先后顺序，考察置换的幂与逆映射。
- 集合的基数
从集合之间的对应关系理解大小，区分有限与无限情形。
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半群与群
章节框架研究集合上的二元运算，逐步认识半群、含幺半群、群与子群。
原离散数学第五次作业的主题归纳：运算律、单位元、半群、群与子群。
- 二元运算及其性质
检验封闭性、结合律与交换律，辨别左、右单位元等运算概念。
- 半群与含幺半群
在结合运算的基础上考察单位元，比较不同代数结构的条件。
- 群与子群
引入逆元并检验群结构，考察运算在子集上能否保持。
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同态与环
章节框架通过保持运算的映射联系代数结构，再认识环中的单位、零因子和子结构。
原离散数学第六次作业的主题归纳：群同态、正规子群、环、子环与理想。
- 同态与正规子群
考察群同态对结构的保持，以及共轭与正规子群的关系。
- 环、单位与零因子
在两种运算下认识环，区分零元、单位元、可逆元和零因子。
- 子环与理想
比较环中不同子结构的封闭条件，并注意所采用的单位元约定。
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图与计数
已有部分内容用图表示离散对象间的联系，将排列组合、度数和连通性用于基础构造与计数。
原离散数学第七次作业的图论与排列组合主题归纳；基础练习另连接图论与组合课程中的对应材料。
- 图与有向图的基本结构
从顶点、边及方向出发，认识离散关系的图表示。
- 路径与连通
区分路径、迹与环，用可达性描述图中顶点之间的联系。
- 排列组合与图计数
通过排列组合、度数统计和对应关系计算图中的对象数量。
- 补充练习连通、迹与欧拉图
图论与组合习题1.2，练习连通判断、闭合迹分解与含环条件。
- 补充练习度数与计数
图论与组合习题1.3，涉及奇度点、三角形、二部子图和环的计数。
- 补充练习有向图与 de Bruijn 图
图论与组合习题1.4，涉及有向图构造、强连通与有向欧拉图。
- 关联课程图论与组合
继续学习树、匹配、连通度、网络流、着色及其他图论主题。