课程总纲 · 7 个单元 · 35 个知识点
概率论
从随机事件与概率空间出发，学习随机变量、随机向量、数字特征、特征函数与极限定理。
章节与知识点
依据苏淳、冯群强《概率论》第三版第 1-6 章及附录的章、节目录组织，配合教师题型讲义定位练习。教材目录覆盖的内容不等同于某次课程的授课或考试范围。
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第 1 章 预备知识
章节框架用集合表达随机事件，比较古典概型与几何概型的建模方式。
苏淳、冯群强《概率论》第三版，第 1 章，pp.1-34；节次与起始页依据 PDF 第 9-13 页目录，p. 指印刷页。
- 1.1 随机现象和随机事件
教材 p.1 起。区分试验结果、样本空间与所关心的事件。
- 1.2 随机事件的运算
教材 p.3 起。用交、并、补描述事件之间的关系。
- 1.3 古典概型
教材 p.9 起。在有限等可能样本空间中用计数计算概率。
- 1.4 古典概型的一些例子
教材 p.17 起。通过具体模型检查计数对象与等可能性。
- 1.5 几何概型
教材 p.24 起。用长度、面积或体积的比例描述连续空间中的概率。
- 1.6 絮话概率论
教材 p.31 起。结合教材的背景讨论理解概率论的问题意识。
- 教师讲义概率论题型：预备知识
《概率论题型.pdf》，页脚日期 2025-05-20，严晓东，随机现象和随机事件，幻灯片 1-7 / PDF 第 1-7 页；幻灯片号与 PDF 页号分别标注。
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第 2 章 初等概率论
已有部分内容建立概率空间，继而讨论条件概率、计算方法与事件独立性。
苏淳、冯群强《概率论》第三版，第 2 章，pp.35-94；节次与起始页依据 PDF 第 9-13 页目录，p. 指印刷页。
- 2.1 概率论的公理化体系
教材 p.35 起。从事件族和概率测度建立统一的概率空间。
- 2.2 利用概率性质解题的一些例子
教材 p.46 起。把事件关系转化为概率的等式与界。
- 2.3 条件概率
教材 p.55 起。连接乘法定理、全概率公式与 Bayes 公式。
- 2.4 一些应用
教材 p.74 起。考察递推求概率、秘书问题和直线上的随机游动。
教材 p.83 起。区分两两独立与相互独立；配套笔记介绍两个及三个事件的定义。
- 教师讲义概率论题型：初等概率论
《概率论题型.pdf》，页脚日期 2025-05-20，严晓东，概率性质、条件概率与事件独立性，幻灯片 8-46 / PDF 第 8-46 页；幻灯片号与 PDF 页号分别标注。
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第 3 章 随机变量
章节框架把随机试验数值化，通过分布函数和常见分布描述单个随机变量。
苏淳、冯群强《概率论》第三版，第 3 章，pp.95-167；节次与起始页依据 PDF 第 9-13 页目录，p. 指印刷页。
- 3.1 初识随机变量
教材 p.95 起。由示性函数与 Bernoulli 随机变量理解随机变量。
- 3.2 与 Bernoulli 试验有关的随机变量
教材 p.108 起。从成功次数与等待次数认识相关分布，并联系均匀分布。
- 3.3 随机变量与分布函数
教材 p.123 起。用分布函数统一描述分布类型，连接积分、期望与方差。
- 3.4 Poisson 分布与指数分布
教材 p.135 起。联系事件发生的次数与等待时间，考察相应分布。
- 3.5 正态分布
教材 p.146 起。认识正态分布的参数、形状与概率集中性质。
- 3.6 随机变量的若干变换及其分布
教材 p.153 起。求截尾、变换与初等函数作用后的分布。
- 3.7 絮话正态分布
教材 p.162 起。通过正态分布的来历与标准分等话题认识其应用背景。
- 教师讲义概率论题型：随机变量
《概率论题型.pdf》，页脚日期 2025-05-20，严晓东、付利亚，随机变量和分布函数、随机变量函数的分布，幻灯片 47-68、71-83 / PDF 第 47-68、71-83 页；幻灯片号与 PDF 页号分别标注。
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第 4 章 随机向量
章节框架从联合分布走向边缘分布、条件分布、独立性与随机向量的函数。
苏淳、冯群强《概率论》第三版，第 4 章，pp.168-215；节次与起始页依据 PDF 第 9-13 页目录，p. 指印刷页。
- 4.1 随机向量的概念
教材 p.168 起。用多维分布描述多个随机变量的共同变化。
- 4.2 边缘分布与条件分布
教材 p.173 起。区分联合、边缘与条件信息，并讨论随机变量的独立性。
- 4.3 常见的多维连续型分布
教材 p.190 起。比较多维均匀分布与二维正态分布的结构。
- 4.4 随机向量的函数
教材 p.193 起。讨论和、商、一般变换以及极值、顺序统计量与纪录值的分布。
- 教师讲义概率论题型：随机向量
《概率论题型.pdf》，页脚日期 2025-05-20，付利亚、严晓东，随机变量的独立性、随机向量及其函数，幻灯片 69-70、84-124 / PDF 第 69-70、84-192 页；幻灯片号与 PDF 页号分别标注。
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第 5 章 数字特征与特征函数
章节框架用期望、矩、分位数和相关性概括分布，再用特征函数研究分布结构。
苏淳、冯群强《概率论》第三版，第 5 章，pp.216-292；节次与起始页依据 PDF 第 9-13 页目录，p. 指印刷页。
- 5.1 矩与分位数
教材 p.216 起。整理期望、方差、各阶矩与分位数所描述的分布特征。
- 5.2 条件期望与条件方差
教材 p.235 起。在给定信息下计算期望与方差，联系全概率方法。
- 5.3 协方差和相关系数
教材 p.255 起。描述变量间的线性关联，并推广到随机向量的数字特征。
- 5.4 特征函数
教材 p.266 起。从定义与性质出发，用特征函数处理分布及其运算。
- 5.5 多维正态分布
教材 p.283 起。认识多维正态分布的定义、推广及其性质。
- 教师讲义概率论题型：数字特征与特征函数
《概率论题型.pdf》，页脚日期 2025-05-20，付利亚、严晓东，数字特征与特征函数，幻灯片 125-155 / PDF 第 193-306 页；幻灯片号与 PDF 页号分别标注。
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第 6 章 极限定理
章节框架比较随机变量列的收敛方式，理解大数律与中心极限定理的条件和结论。
苏淳、冯群强《概率论》第三版，第 6 章，pp.293-366；节次与起始页依据 PDF 第 9-13 页目录，p. 指印刷页。
- 6.1 依概率收敛与平均收敛
教材 p.293 起。区分概率意义的误差控制与平均意义的误差控制。
- 6.2 依分布收敛
教材 p.306 起。通过分布研究极限，并联系特征函数的连续性定理。
- 6.3 弱大数律和中心极限定理
教材 p.314 起。分别考察平均量的稳定性与标准化波动的分布极限。
- 6.4 a.s. 收敛
教材 p.344 起。从几乎处处的角度研究收敛与事件无穷多次发生。
- 6.5 强大数律
教材 p.356 起。联系独立随机变量级数的几乎处处收敛与样本平均的极限。
- 教师讲义概率论题型：极限定理
《概率论题型.pdf》，页脚日期 2025-05-20，严晓东，极限定理，幻灯片 156-197 / PDF 第 307-457 页；幻灯片号与 PDF 页号分别标注。
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附录
章节框架补充计数方法、若干定理证明及统计学常用分布。
苏淳、冯群强《概率论》第三版，附录，pp.368-394；节次与起始页依据 PDF 第 9-13 页目录，p. 指印刷页。
- A.1 一些计数模式
教材 p.368 起。补充多组组合、分球入盒、可重排列组合与大间距组合。
- A.2 一些概念和一些定理的证明
教材 p.377 起。补充 Poisson 过程、反演公式、唯一性定理与连续性定理。
- A.3 统计学中的三大分布
教材 p.387 起。认识卡方、t、F 分布及其与统计问题的联系。
- 教材附表常用分布表
《概率论》第三版附表 I，印刷页 p.395 起。
- 教材附表Poisson 分布数值表
《概率论》第三版附表 II，印刷页 p.398 起。
- 教材附表标准正态分布数值表
《概率论》第三版附表 III，印刷页 p.400 起。