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课程总纲 · 11 个单元 · 55 个知识点

运筹学

从实际决策建立优化模型，学习线性与整数规划、非线性优化、动态规划、网络模型和不确定环境下的决策方法。

章节与知识点

以刁在筠等《运筹学》第四版的简介与九章目录为骨架，按原节次组织；另标注教师讲义中的内点法、拟牛顿法、随机动态规划，并增设随机优化讲义单元。

  1. 运筹学简介

    章节框架

    将决策情境转化为变量、目标与约束，认识模型和求解方法之间的联系。

    教材“运筹学简介”，p.1；教师讲义《1运筹学简介.pdf》。

    1. 运筹学与优化建模

      从资源限制和决策目标出发，明确模型假设、变量含义与解的解释。

    • 教师讲义
      运筹学简介

      “1. 简介(不重要)/1运筹学简介.pdf”；文件夹括注仅用于定位。

  2. 第 1 章 线性规划

    章节框架

    由线性模型与可行域进入单纯形方法，再用对偶和灵敏度分析理解最优方案。

    教材第 1 章，§1.1-§1.8，p.5-71；目录 PDF 第 15 页。内点法为教师讲义补充。

    1. 1.1 线性规划问题

      p.5 起。通过实例识别线性目标与约束，建立线性规划模型。

    2. 1.2 可行区域与基本可行解

      p.10 起。从图解法与可行域几何理解基本可行解及基本定理。

    3. 1.3 单纯形方法

      p.19 起。理解基的变换，并以单纯形表组织迭代计算。

    4. 1.4 初始解

      p.33 起。用两阶段法构造初始可行基，理解算法启动所需的条件。

    5. 1.5 对偶性及对偶单纯形方法

      p.40 起。建立对偶问题，联系对偶理论、经济解释与对偶单纯形法。

    6. 1.6 灵敏度分析

      p.55 起。考察价值向量和右端向量变化对最优方案的影响。

    7. 1.7 参数线性规划

      p.60 起。研究目标函数或约束右端随参数变化的一族问题。

    8. 1.8 算法复杂性及解线性规划问题的进一步研究

      p.68 起。把求解步骤与算法复杂性联系起来，了解进一步的求解思路。

    9. 讲义补充：内点法

      依据《6. 内点法.pdf》，认识线性规划的内点求解思路。

    • 教师讲义
      线性规划模型与基本定理

      “2. 线性规划/0. 线性规划模型.pdf”，PDF 第 1-2 页给出章名及模型提纲。

    • 教师讲义
      内点法

      “2. 线性规划/6. 内点法.pdf”。

    • 建模实例
      牛奶生产与对偶、运输装机问题

      “例题与其他/数学优化建模--牛奶生产与对偶.pdf”及“数学优化建模--运输装机问题.pdf”。

  3. 第 2 章 整数线性规划

    章节框架

    用整数变量表达不可分割的选择，并学习割平面和分枝定界两类求解方法。

    教材第 2 章，§2.1-§2.3，p.84-100；目录 PDF 第 15-16 页。

    1. 2.1 整数线性规划问题

      p.84 起。从建模实例认识整数约束及其带来的求解困难。

    2. 2.2 Gomory 割平面法

      p.88 起。理解通过增加有效约束排除非整数解的基本思想与步骤。

    3. 2.3 分枝定界法

      p.95 起。结合子问题划分与界的估计缩小搜索范围。

    • 教师讲义
      整数规划建模与 Big-M 方法

      “3. 整数规划/1. 模型建立.pdf”及“2. 大 M 方法.pdf”。

    • 教师讲义
      整数规划求解方法

      “3. 整数规划/3. 整数规划求解方法.ppt”。

  4. 第 3 章 非线性规划

    章节框架

    区分最优性条件与数值算法，从凸性、搜索方法走向无约束和约束优化。

    教材第 3 章，§3.1-§3.5，p.105-151；目录 PDF 第 16 页。拟牛顿法为教师讲义补充。

    1. 3.1 基本概念

      p.105 起。认识非线性规划问题及其主要求解方法。

    2. 3.2 凸函数和凸规划

      p.111 起。理解凸函数性质及凸规划中局部与整体最优性的联系。

    3. 3.3 一维搜索方法

      p.117 起。学习 0.618 法与 Newton 法，理解步长搜索的作用。

    4. 3.4 无约束最优化方法

      p.123 起。连接最优性条件、最速下降法和共轭方向法。

    5. 3.5 约束最优化方法

      p.133 起。学习约束最优性条件、简约梯度法与惩罚函数法。

    6. 讲义补充：拟牛顿法

      依据《4. 拟牛顿法.pdf》，理解利用迭代信息近似二阶信息的思路。

    • 教师讲义
      最速下降、牛顿法与拟牛顿法

      “4. 非线性规划/3. 最速下降-牛顿法.pdf”及“4. 拟牛顿法.pdf”。

    • 教师讲义
      精确与非精确搜索

      “4. 非线性规划/5. 精确搜索-非精确搜索.pdf”，PDF 第 2 页列出线性搜索提纲。

    • 教师讲义
      约束最优性条件与罚函数方法

      “4. 非线性规划/6. 约束最优化问题与最优性条件.pdf”及“7. 罚函数方法.pdf”。

  5. 第 4 章 动态规划

    章节框架

    用状态与阶段描述连续决策，将整体目标分解为可递推的子问题。

    教材第 4 章，§4.1-§4.4，p.159-185；目录 PDF 第 16 页。随机动态规划为教师讲义补充。

    1. 4.1 多阶段决策问题

      p.159 起。从最短路、资源分配与生产库存问题识别多阶段结构。

    2. 4.2 最优化原理

      p.163 起。由递推求解最短路理解最优化原理。

    3. 4.3 确定性的定期多阶段决策问题

      p.168 起。考察旅行售货员、多阶段资源分配和可靠性问题。

    4. 4.4 确定性的不定期多阶段决策问题

      p.177 起。通过最优线路和有限资源分配处理决策期数的变化。

    5. 讲义补充：随机动态规划

      依据随机动态规划讲义，将随机转移与期望收益纳入阶段递推。

    • 教师讲义
      有限期与无限期确定动态规划

      “5. 动态规划/1. 有限期确定动态规划.pdf”及“2. 无限期确定动态规划.pdf”。

    • 教师讲义
      随机动态规划

      “5. 动态规划/3. 离散随机动态规划.ppt”及“4. 随机动态规划.pdf”。

    • 建模实例
      秘书问题

      “例题与其他/秘书问题（修改版）.pdf”，PDF 第 1 页给出随机面试顺序下的序贯选择问题。

  6. 第 5 章 图与网络分析

    章节框架

    将路径、流量和匹配决策表示为图上的结构与优化问题。

    教材第 5 章，§5.1-§5.9，p.190-240；目录 PDF 第 16-17 页。

    1. 5.1 图与子图

      p.190 起。认识图、网络、子图及矩阵表示。

    2. 5.2 图的连通性

      p.197 起。理解连通关系和割集。

    3. 5.3 树与支撑树

      p.202 起。学习树与支撑树的结构性质。

    4. 5.4 最小树问题

      p.205 起。利用最小树性质构造低成本的连接方案。

    5. 5.5 最短有向路问题

      p.210 起。从最短路方程进入有向路径的算法求解。

    6. 5.6 最大流问题

      p.214 起。连接最大流最小割定理与增广求解过程。

    7. 5.7 最小费用流问题

      p.219 起。在流量约束下优化费用，并联系运输问题。

    8. 5.8 最大对集问题

      p.229 起。研究二分图的对集、最大基数对集及分派问题。

    9. 5.9 复杂网络简介

      p.237 起。认识复杂网络的基本模型与常见统计量。

  7. 第 6 章 网络计划技术

    章节框架

    通过网络表示工作依赖，计算时间参数并识别关键路线。

    教材第 6 章，§6.1-§6.3，p.247-261；目录 PDF 第 17 页。

    1. 6.1 网络计划图

      p.247 起。学习基本术语以及箭线图、节点图的表示方法。

    2. 6.2 时间参数与关键路线

      p.252 起。由工作持续时间推算节点和工作时间，确定关键路线。

    3. 6.3 网络计划的优化

      p.256 起。在网络计划的约束下比较和改进实施方案。

  8. 第 7 章 排队论

    章节框架

    描述随机到达与服务过程，分析服务系统的运行与决策。

    教材第 7 章，§7.1-§7.3，p.266-288；目录 PDF 第 17 页。

    1. 7.1 随机服务系统概论

      p.266 起。认识服务系统的组成、常用概率分布与最简单流。

    2. 7.2 无限源的排队系统

      p.271 起。比较不同服务台数与容量设置下的无限源模型。

    3. 7.3 有限源排队系统

      p.285 起。讨论顾客来源有限时的服务系统。

  9. 第 8 章 决策分析

    章节框架

    区分风险与不确定情境，比较决策准则、效用和信息价值。

    教材第 8 章，§8.1-§8.4，p.293-312；目录 PDF 第 17-18 页。

    1. 8.1 决策分析的基本概念

      p.293 起。用决策模型整理行动、环境状态与结果。

    2. 8.2 风险型决策分析

      p.295 起。根据已知概率和决策树比较行动方案。

    3. 8.3 不确定型决策分析

      p.301 起。认识概率信息不足时的决策条件与基本方法。

    4. 8.4 效用函数和信息的价值

      p.306 起。用效用表达偏好，并分析信息对决策的作用。

  10. 第 9 章 对策论

    章节框架

    把多个参与者相互影响的选择表示为对策，研究均衡与合作分配。

    教材第 9 章，§9.1-§9.5，p.316-350；目录 PDF 第 18 页。

    1. 9.1 引言

      p.316 起。从发展简史、模型和例子认识对策问题。

    2. 9.2 矩阵对策的平衡局势

      p.320 起。学习矩阵对策、混合扩充、简化及线性规划求解。

    3. 9.3 非合作对策的平衡局势

      p.330 起。比较对抗对策、多人对策及混合扩充的平衡局势。

    4. 9.4 合作对策

      p.334 起。通过特征函数、分配、核心、核仁与 Shapley 值理解合作收益。

    5. 9.5 网络对策

      p.347 起。认识图形对策与合作交流对策。

    • 教师讲义
      对策论

      “例题与其他/对策论(Theory-of-Games).ppt”。

  11. 讲义补充：随机优化

    已有部分内容

    在需求和收益存在随机性的情况下建立决策模型，连接期望、抽样、风险与概率约束。

    教师讲义《sec5-随机优化.pdf》，PDF 第 5-86 页；以下小节按讲义主题归组，不是教材第 10 章。

    1. 随机需求与报童模型

      讲义 PDF 第 5-16 页。从随机需求下的收益函数出发，比较期望模型与保守决策。

    2. 采购、设计与库存决策

      讲义 PDF 第 17-31 页。通过采购和库存等实例表达缺货、积压与成本之间的权衡。

    3. 样本平均近似

      讲义 PDF 第 32-44 页。以抽样近似期望目标，关注最优值与解的收敛条件。

    4. 随机梯度与学习模型

      讲义 PDF 第 45-53 页。连接随机梯度、小批量计算与经验风险优化。

    5. 风险偏好与风险度量

      讲义 PDF 第 54-74 页。从效用和风险偏好进入均值方差及绝对偏差模型。

    6. 随机占优

      讲义 PDF 第 75-76 页。通过分布之间的关系比较随机结果。

    7. 机会约束

      讲义 PDF 第 77-86 页。用概率约束表达可靠性要求，了解抽样近似与分布已知时的转化。

    • 教师讲义
      随机优化

      “6. 随机优化/sec5-随机优化.pdf”，PDF 第 1-86 页。

    • 作业
      第 5 次作业：连续与离散需求下的采购决策

      原公开系列 operations-research，第 5 次作业第 1、2 题：均匀需求下的白糖采购与离散需求下的饼干采购。

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