数值分析

章节与知识点

按李乃成、梅立泉《数值分析》的 10 章、41 个一级节组织，涵盖矩阵计算与微分方程数值解法，配合已有笔记阅读。教材目录中的星号保留为原书标记，不表示课程考试范围。

1. 01

   第 1 章 绪论

   已有部分内容

   认识数值计算的任务，区分误差来源，并考察算法的数值稳定性。

   《数值分析》第 1 章，§1.1-§1.3，p.1 起；目录 PDF 第 5 页。

   1. 1.1 数值分析研究的内容与特点

      p.1 起。从近似计算的问题出发，认识方法、精度与计算代价的关系。

   2. 1.2 误差

      p.2 起。学习误差分类、绝对与相对误差、准确数字、浮点舍入和数据误差影响；已有笔记选讲误差与浮点表示。

   3. 1.3 算法的数值稳定性

      p.8 起。关注计算过程如何放大或控制误差。

2. 02

   第 2 章 解线性方程组的直接法

   章节框架

   从消元与矩阵分解出发求解线性系统，进一步讨论误差影响与超定方程组。

   《数值分析》第 2 章，§2.1-§2.5，p.12 起；目录 PDF 第 5-6 页。

   1. 2.1 高斯消去法

      p.13 起。梳理消元、回代、运算量、适用条件与列主元选择。

   2. 2.2 矩阵的三角分解

      p.22 起。联系 LU 分解、平方根法和三对角系统的追赶法。

   3. 2.3 舍入误差对解的影响

      p.37 起。借助向量与矩阵范数考察计算误差对解的影响。

   4. 2.4 正交变换与矩阵的 QR 分解

      p.49 起。学习吉文斯变换、豪斯霍尔德变换与 QR 分解。

   5. *2.5 超定方程组

      p.65 起。以线性最小二乘问题处理方程多于未知量的情形。

3. 03

   第 3 章 解线性方程组的迭代法

   章节框架

   用逐次改进近似解的方式求解线性系统，比较不同迭代方法的收敛条件。

   《数值分析》第 3 章，§3.1-§3.5，p.77 起；目录 PDF 第 6 页。

   1. 3.1 向量序列和矩阵序列的极限

      p.77 起。为迭代过程建立向量和矩阵收敛的语言。

   2. 3.2 解线性方程组的基本迭代法

      p.78 起。从一般迭代格式认识三种基本迭代方法。

   3. 3.3 迭代法的收敛性

      p.83 起。用矩阵表示分析误差随迭代步数的变化。

   4. 3.4 共轭梯度法

      p.92 起。联系线性方程组与二次函数极小问题，理解共轭方向。

   5. *3.5 基于伽辽金原理的迭代法

      p.100 起。由克雷洛夫子空间进入阿诺尔迪过程与广义极小残余算法。

4. 04

   第 4 章 插值法

   章节框架

   根据节点上的函数或导数数据构造近似函数，比较整体多项式与分段插值。

   《数值分析》第 4 章，§4.1-§4.6，p.115 起；目录 PDF 第 6-7 页。

   1. 4.1 多项式插值问题

      p.115 起。明确节点、插值条件与待求多项式之间的关系。

   2. 4.2 拉格朗日插值多项式

      p.118 起。利用基函数构造满足节点条件的多项式。

   3. 4.3 牛顿插值多项式

      p.120 起。借助差商表达插值多项式并理解逐项构造。

   4. 4.4 埃尔米特插值多项式

      p.125 起。把导数信息与函数值一起纳入插值条件。

   5. 4.5 分段低次插值多项式

      p.129 起。考察高次插值的局限与分段低次方法。

   6. 4.6 三次样条插值函数

      p.132 起。连接分段多项式与光滑性条件，讨论样条误差。

5. 05

   第 5 章 函数最优逼近

   章节框架

   在给定函数空间和误差度量下寻找近似函数，区分平方意义与一致意义的最优性。

   《数值分析》第 5 章，§5.1-§5.3，p.142 起；目录 PDF 第 7 页。

   1. 5.1 函数的内积、范数和正交多项式

      p.142 起。建立度量函数误差和表达正交性的工具。

   2. 5.2 最优平方逼近

      p.151 起。通过正交条件与正规方程组求平方误差最小的近似。

   3. 5.3 最优一致逼近

      p.162 起。以最大误差为标准讨论多项式逼近。

6. 06

   第 6 章 数值积分与数值微分

   章节框架

   利用有限采样近似积分与导数，结合精度、步长和稳定性选择计算方法。

   《数值分析》第 6 章，§6.1-§6.4，p.177 起；目录 PDF 第 7-8 页。

   1. 6.1 牛顿-科茨求积公式

      p.177 起。由插值求积进入复化、变步长和龙贝格积分方法。

   2. 6.2 待定系数法与高斯型求积公式

      p.187 起。用代数精度组织节点和权重的选择。

   3. 6.3 数值积分的稳定性

      p.201 起。考察函数值扰动如何影响求积结果。

   4. 6.4 数值微分

      p.201 起。比较插值、待定系数、外推和样条求导方法。

7. 07

   第 7 章 非线性方程（组）的迭代解法

   章节框架

   从单个非线性方程扩展到方程组，关注迭代的收敛性、收敛速度与加速。

   《数值分析》第 7 章，§7.1-§7.2，p.212 起；目录 PDF 第 8 页。

   1. 7.1 求解非线性方程的迭代法

      p.212 起。学习基本迭代格式及其收敛分析和加速技术。

   2. 7.2 求解非线性代数方程组的迭代法

      p.228 起。比较简单迭代、牛顿法、弦割法与布洛依登法。

8. 08

   第 8 章 矩阵特征值与特征向量的计算

   章节框架

   结合矩阵结构选择谱计算方法，并延伸到奇异值与广义特征值问题。

   《数值分析》第 8 章，§8.1-§8.5，p.241 起；目录 PDF 第 8-9 页。

   1. 8.1 基本性质

      p.241 起。整理特征值计算所需的矩阵谱基本性质。

   2. 8.2 求一般矩阵特征值的计算方法

      p.242 起。认识乘幂法、反幂法、QR 方法和阿诺尔迪方法。

   3. 8.3 求实对称矩阵特征值的计算方法

      p.253 起。利用对称结构理解雅可比、吉文斯和兰乔斯方法。

   4. 8.4 奇异值（SVD）的计算

      p.259 起。考察奇异值分解的数值计算。

   5. 8.5 广义特征值问题

      p.261 起。通过广义 Schur 分解处理广义特征值问题。

9. 09

   第 9 章 常微分方程数值解法

   章节框架

   构造初值与边值问题的离散方法，理解局部计算与整体误差之间的关系。

   《数值分析》第 9 章，§9.1-§9.4，p.265 起；目录 PDF 第 9 页。

   1. 9.1 初值问题常用数值解法的建立与使用

      p.265 起。学习基本格式、隐式求解、龙格-库塔法与预测-校正公式。

   2. 9.2 数值解中误差的积累、数值方法的收敛性和绝对稳定性

      p.282 起。区分误差积累、收敛性与绝对稳定性的作用。

   3. 9.3 一阶微分方程组与高阶方程的数值解法

      p.289 起。将数值方法推广到方程组与高阶常微分方程。

   4. 9.4 边值问题的数值解法

      p.293 起。比较有限差分法与打靶法处理边界条件的方式。

10. 10

    第 10 章 偏微分方程的数值解法

    章节框架

    按方程类型研究差分格式，并通过变分与伽辽金思想进入有限元方法。

    《数值分析》第 10 章，§10.1-§10.4，p.305 起；目录 PDF 第 9-10 页。

    1. 10.1 椭圆型边值问题

       p.305 起。建立差分方程并考察误差估计与收敛性。

    2. 10.2 抛物型方程初、边值问题

       p.310 起。关注时间推进格式的稳定性和差分解误差。

    3. 10.3 双曲型方程混合问题

       p.316 起。分别考察一阶方程、方程组和二阶双曲型方程。

    4. 10.4 有限元法

       p.320 起。串联变分原理、伽辽金逼近、单元形状函数与求解步骤。